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Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Propiedades de los logaritmos

Posted by wgs84 en Domingo, 16 noviembre, 2008

  1. El logaritmo del producto de dos números es igual a la suma de los logartimos de cada uno de los factores

    Vamos a demostrar que \log_a \enspace \left ( x \cdot y \right ) =\log_a \enspace x + \log_a \enspace y.

    Si \log_a \enspace x= t. Por definición de logaritmo a^t=x (1)
    Si \log_a \enspace y= z. Por definición de logaritmo a^z=y. (2)
    Multiplicando estas dos igualdades tenemos que :a^t \cdot a^z =x \cdot y = a^{t+z}
    Tomando logaritmos en base a a ambos lados:
    \log_a \enspace a^{t+z} =\log_a \enspace x \cdot y
    Por definición de logaritmo. \log_a \enspace a^{t+z}= t+z= \log_a \enspace x \cdot y
    Y teniendo en cuenta (1) y (2):
    \log_a \enspace \left ( x \cdot y \right ) =\log_a \enspace x + \log_a \enspace y.

  2. El logaritmo del cociente de dos números es igual a la resta de los logartimos de cada uno de los números

    Vamos a demostrar que \log_a \enspace \left ( \dfrac{x}{y} \right ) =\log_a \enspace x - \log_a \enspace y.

    Si \log_a \enspace x= t. Por definición de logaritmo a^t=x (3)
    Si \log_a \enspace y= z. Por definición de logaritmo a^z=y. (4)
    Dividiendo estas dos igualdades tenemos que :\dfrac{a^t}{a^z} =\dfrac{x}{y} = a^{t-z}
    Tomando logaritmos en base a a ambos lados:
    \log_a \enspace a^{t-z} =\log_a \enspace \dfrac{x}{y}
    Por definición de logaritmo. \log_a \enspace a^{t-z}= t-z= \log_a \enspace \dfrac{x}{y}
    Y teniendo en cuenta (3) y (4):
    \log_a \enspace \left ( \dfrac{x}{y} \right ) =\log_a \enspace x - \log_a \enspace y.

  3. El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base

    Vamos a demostrar que \log_a x^n= n \cdot \log_a x
    Es sencillo demostralo usando la primera propiedad.
    \log_a x^n=\log_a \enspace \left (x \cdot x\cdot x........x \right ) n veces
    Aplicando la primera propiedad esto es igual a:
    \log_a x  + \log_a x + \log_a x+ ........+\log_a x n veces
    n \cdot \log_a x

  4. El logaritmo de un radical es igual al cociente en tre el logaritmo del radicando y el índice

    Vamos a demostrar que \log_a \enspace \sqrt[n]{x}= \dfrac{1}{n} \cdot \log_a x
    Es sencillo utilizando la propiedad de la potencia (3).
    Usando el radical como un exponente fraccionario y aplicando la propiedad (3) tenemos que:
    \log_a \enspace \sqrt[n]{x}=\log_a \enspace x^{\frac{1}{n}}= \dfrac{1}{n} \cdot \log_a x

2 comentarios to “Propiedades de los logaritmos”

  1. […] las propiedades de los logaritmos para dejar un único logaritmo en cada miembro de la […]

  2. Andres Aguilar Garcia said

    Hola amigos visiten mi blog ahi tambien encontraran mas videos con ejercicios visiten la pagina http://propiedadesdelogaritmos.blogspot.com/

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