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Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Archive for 30 diciembre 2008

Límites con ráices cúbicas

Posted by wgs84 en Martes, 30 diciembre, 2008

El fundamento para resolver estos límites es la descomposición en factores de la suma de cubos y de la diferencia de cubos
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab +b^2)
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

  • \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} x + \sqrt[3]{1-x^3}= \infty -\infty

En este caso vamos a utilizar la suma de cubos para eliminar la raíz cúbica.
x + \sqrt[3]{1-x^3} hace de factor a+b a= x y b= \sqrt[3]{1-x^3}
Multiplicamos y dividimos por a^2-ab +b^2
\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\left ( x + \sqrt[3]{1-x^3} \right )\left ( x^2-x \cdot \sqrt[3]{1-x^3} +\sqrt[3]{ \left ( 1- x^3 \right ) ^2} \right )}{ x^2-x \cdot \sqrt[3]{1-x^3} +\sqrt[3]{ \left ( 1- x^3 \right ) ^2} }=
\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{x^3+ 1-x^3}{x^2-x \cdot \sqrt[3]{1-x^3} +\sqrt[3]{ \left ( 1- x^3 \right ) ^2}}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{1}{x^2-x \cdot \sqrt[3]{1-x^3} +\sqrt[3]{ \left ( 1- x^3 \right ) ^2}}= \dfrac{1}{\infty}=0

  • \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}  x- \sqrt[3]{x^3-7x^2}=\infty-\infty

\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}  x- \sqrt[3]{x^3-7x^2}=
\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}  \dfrac{\left ( x- \sqrt[3]{x^3-7x^2} \right ) \left ( x^2+ x \cdot \sqrt[3]{x^3-7x^2} + \sqrt[3]{\left (x^3-7x^2 \right )^2}\right )}{x^2+ x \cdot \sqrt[3]{x^3-7x^2} + \sqrt[3]{\left (x^3-7x^2 \right )^2}}= \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{x^3-x^3+7x^2}{x^2+ x \cdot \sqrt[3]{x^3-7x^2} + \sqrt[3]{\left (x^3-7x^2 \right )^2}}

Dividimos arriba y abajo por el término de mayor grado x^2= \sqrt[3]{x^6}. Previamente introduciremos factores dentro de los radicales y desarrolaremos porductos notables
\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{7x^2}{x^2+ \sqrt[3]{x^6-7x^5} + \sqrt[3]{x^6-14x^5+49x^2}}=
\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{7}{1+\sqrt[3]{1-\dfrac{7}{x}}+\sqrt[3]{1-\dfrac{14}{x}+\dfrac{49}{x^4}}}= \dfrac{7}{3}

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Incentro y circuncferencia inscrita a un triángulo

Posted by wgs84 en Miércoles, 3 diciembre, 2008

En un triangulo cuyos vertices son A(-1,0); B(2,9/4) y C(5,0), hallar la ecuacion de la circunferencia inscrita al triangulo

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en un triángulo. También es el punto de corte de las tres bisectrices. Por lo tanto calcularemos dos de las bisectrices y el punto de corte será el incentro

  1. Primero calculamos las ecuaciones de las rectas que forman los lados.
    • El vector \vec{AB}= (2+1 ; \dfrac{9}{4}-0)=(3, \dfrac{9}{4}))
      Multiplicando por 4 y diviendo por tres nos queda como vector director \vec{v}=(4, 3).
      La ecuación de la recta que pasa por A y B sera \dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y-0}{3}.
      Multiplicando en cruz y agrupando 3x-4y+3=0 (1)
    • El vector \vec{BC}=(5-2, 0-\dfrac{9}{4})=(3, -\dfrac{9}{4}) Multiplicando por 4 y divdiendo por 3 nos queda como vector director de la recta que pasa por B y C \vec{w}=(4, -3).
      La ecuación de la recta correspondiente será \dfrac{x-5}{4}=\dfrac{y-0}{-3}. Pasandola a forma general es 3x+4y-15=0 (2)
    • La ecuación de la recta que pasa por A y C es el eje OX: y= 0 (3)
  2. Calculamos dos bisectrices. Por facilidad obtendrema la bisectriz en A y en C
    • \left | \dfrac{3x-4y+3}{\sqrt{9+16}} \right | =\left | y \right |
      Esto da lugar a :
      bisectriz: \dfrac{3x-4y+3}{5}=y \rightarrow 3x-9y+3=0
      bisectriz \dfrac{3x-4y+3}{5}=-y \rightarrow 3x+y+3=0
      Gráficamente se puede comprobar que la bisectriz que buscamos es 3x-9y+3=0 (4)
    • \left | \dfrac{3x+4y-15}{\sqrt{9+16}} \right | =\left | y \right |
      Esto da lugar a :
      bisectriz: \dfrac{3x+4y+15}{5}=y \rightarrow 3x-y-15=0
      bisectriz \dfrac{3x+4y-15}{5}=-y \rightarrow 3x+9y-15=0
      Gráficamente se puede comprobar que la bisectriz que buscamos es 3x+9y-15=0 (5)
  3. Calculamos el incentro resolviendo el sistema :
    \left. \begin{array}{rcl} 3x+9y-15=0 \\ 3x-9y+3=0 \end{array} \right \}
    Sumando las ecuaciones nos queda 6x-12=0 \rightarrow x= 2. Sustituyendo en la segunda , por ejemplo 6-9y+3=0 \rightarrow y=1.
    El Incentro es el punto ( 2, 1)
  4. El radio de la circunferencia será la distancia del incentro a cualquiera de los tres lados del triángulo. Elejimos el lado AC de ecuación (4) y=0 por ser el más sencillo.
    En este caso la distnacia del punto ( 2, 1) al eje OX es su coordenada y, es decir, el radio de la circunferencia es r= 1
  5. La ecuación de la circunferencia inscrita es (x-2)^2+(y-1)^2=1

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