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Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Triángulo equilátero y circunferencias

Posted by wgs84 en Martes, 20 enero, 2009

Si dos vertices de un triangulo equilatero son (-4,3) y (0,0) encontrar el tercer vertice

La distancia entre los dos puntos es el radio de las circunferecias que vamos a utilizar \sqrt{(-4)^2+3^2}=5 y que es la longitud del lado del triángulo equilatero

Circunferencia de radio 5 y centro (-4, 3) (x+4)^2+(y-3)^2=25
Circunferencia de centro (0,0) y radio 5 x^2+y^2=25

La solución del sitema de ecuaciones formado por las dos circunferencias serán los vértices buscados, que serań dos puntos simétricos al segmento (-4, 3) (0,0).
\left. \begin{array}{rcl}  y^2-6y+x^2+8x=0   \\ x^2+y^2=25 \end{array} \right\}
Para resolverlo primero restamos las dos ecuaciones para conseguir una ecuación lineal: -6y+8x+25=0
Ahora resolvemos por sustitución el sistema compuesto por la ecuación lineal obtenida y una de las circunferencias
\left. \begin{array}{rcl}  -6y+8x+25=0   \\ x^2+y^2=25 \end{array} \right\}
Las soluciones son los puntos:

\left ( \dfrac{-3 \sqrt{3}-4}{2}, \dfrac{-4 \sqrt{3}+3}{2} \right )
\left ( \dfrac{3 \sqrt{3}-4}{2}, \dfrac{4 \sqrt{3}+3}{2} \right )

\left [x=-4.598076211353316,y=-1.964101615137754 \right ]
\left [x=0.59807621135332,y=4.964101615137754 \right ]

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