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Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Archive for 20 febrero 2009

Examen Geometría analítica 2008-2009

Posted by wgs84 en Viernes, 20 febrero, 2009

  1. Resuleve 3(x-2, 5)= 2(y-3, 1) +4(2, x-2y)

    (3x-6, 15)=(2y-6, 2)+(8, 4x-8y)=(2y+2, 4x-8y+2)
    La igualdad de vectores da lugar a un sistema de ecuaciones
    \left. \begin{array}{rcl} 3x-6=2y+2 \\ 15=4x-8y+2 \end{array} \right \}
    \left. \begin{array}{rcl} 3x-2y=8 \\ 4x-8y=13 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por igualación \dfrac{8+2y}{3}=\dfrac{13+8y}{4}
    32+8y=39+24y y=\dfrac{-7}{16}
    x=\dfrac{8-\dfrac{7}{8}}{3}=\dfrac{19}{8}

  2. Obten las ecuaciones vectorial, paramétricas, continua, punto-pendiente, general ,explicita y canónica de la recta que pasa por el punto P(5,6) y cuya pendiente es -2

    Si la pendiente es -2 un vector director es \vec{v} (1,-2) pues la pendiente es m=\dfrac{v_2}{v_1}

    • vectorial: (x,y)=(5,6) +t(1,-2)   t \in setR
    • paramétricas: \left \{ \begin{array}{rcl} x= 5 +t \\ y=6-2t \end{array} \right.
    • continua: \dfrac{x-5}{1}=\dfrac{y-6}{-2}
    • general: -2x+10=y-6 \rightarrow 2x+y-16=0
    • punto-pendiente y-6=-2(x-5)
    • explicita: y= -2x+16
    • canónica: los puntos de corte (0,16) y (8,0) la ecuación será \dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{16}=1
  3. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto de corte con el eje OY de la recta x-7y-21=0 y es paralela a la recta 3x-2y+1=0

    Punto de corte de x-7y-21=0 con eje OY Si x=0 entonces y= -3 (0,-3) . El vector director es \vec{v}(2,3).
    La ecuación continua es \dfrac{x-0}{2}=\dfrac{y+3}{3}. Y en forma general 3x-2y-6=0

  4. Sea el triángulo de vértices A(4,1), B(12,3) y C (8,7). Calcula
    a) Baricentro
    b) El perímetro
    c) El ángulo A

    Para calcular el baricentro obtendremos el punto de corte de dos de las medianas del triángulo.
    MEDIANA DEL LADO AB

    • Punto medio del segmento AB M(8, 2)
    • Vector \vec{CM}=(0, -5) Podemos coger como vector director (0,1) paralelo al anterior.
    • La mediana x=8 pasa por M y C

    MEDIANA DEL LADO AC

    • Punto medio del segmento AC N(6,4)
    • Vector \vec{BN}=(-6,1)
    • L a mediana x+6y -30=0 pasa por N y B

    El baricentro sera la solución del sistema \left. \begin{array}{rcl} x=8 \\x+6y-30=0 \end{array} \right\}
    Cuya solución es \left ( 8, \dfrac{11}{3} \right )
    Podemos comprobar el resultado con la fórmula del baricentro de un triángulo
    \left ( \dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}, \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3} \right )
    En nuestro caso \left ( \dfrac{4+12+8}{3}, \dfrac{1+3+7}{3} \right )= \left ( 8, \dfrac{11}{3} \right )
    Para calcular el perímetro sumaremos los módulos de los vectores que forman los lados
    | \vec{AC}|=\sqrt{ (8-4)^2+(7-1)^2}=2 \sqrt{13}
    | \vec{AB}|=\sqrt{(12-4)^2+(3-1)^2}=2 \sqrt{17}
    | \vec{BC}|=\sqrt{(8-12)^2+(3-7)^2}=4 \sqrt{2}
    perimetro= 2 \sqrt{13}+ 2 \sqrt{17}+4 \sqrt{2}

    El ángulo en A es el ángulo formado por los vectores \vec{AB}(8, 2) y \vec{AC}(8,2). \cos A= \dfrac{ 8 \cdot 4 + 2 \cdot 6}{4 \sqrt{13}\sqrt{17}}=\dfrac{11}{\sqrt{221}}
    A= 42º 16′ 25.28”

  5. Calcula la mediatriz del segmento formado por el punto de corte de la recta 3x-5y+15= 0 con el eje OX y el punto de abcisa 4 (x= 4) de la recta y= 3x-10. ¿Qué ángulo formará la mediatriz con el eje OX?

    La mediatriz es la recta perpendicular a un segmento AB que pasa por su punto medio M.

    • A va a ser el punto de corte de la recta 3x-5y+15= 0 con el eje OX. si y=0 tendremos que 3x+15=0 y el punto A será A(-5, 0)
    • B va ser el punto de abcisa 4 (x= 4) de la recta y= 3x-10. Si x=4 la coordenada y es y=3 \cdot 4-10=2. El punto B(4, 2)
    • M va a ser el punto medio del segmento AB M \left ( -\dfrac{1}{2}, 1 \right )
    • Vamos a sacar un vector perpendicular al segmento AB. \vec{AB}= (9,2). Un vector perpendicular a él será \vec{v}(2,-9)
    • La mediatriz pasará por M y tendrá como vector director \vec{v}(2,-9). En forma continua \dfrac{x+\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{y-1}{-9}. En forma general 18x+4y+5=0

    La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma una recta con el eje de abcisas.La pendiente de nuesta recta e m= \dfrac{-9}{2}= \tan \alpha
    \alpha=102º 31′ 43.7” .
    Es 180º + el ángulo negativo que sale en la calculadora ya que la función arctan (tan^-1) de la calculadora trabaja entre -90º y 90º.

  6. Calcula las coordenadas de los puntos del segmento de extremos A(1, 2) y B( 6, 9) que lo dividen en tres partes iguales

    Los puntos buscados serán C y D tales que cumplirán las ecuaciones:

    • 4 \vec{AC}=\vec{AB}
      4(x-1, y-2)=(5, 7) . De esta ecuación vectorial C \left ( \dfrac{9}{4}, \dfrac{15}{4} \right )
    • \vec{AD}=\dfrac{3}{4} \vec{AB}
      (x-1, y-2)=\dfrac{3}{4} \cdot (5, 7). De esta ecuación vectorial D \left ( \dfrac{19}{4}, \dfrac{29}{4} \right )

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Videos de maxima y wxmaxima

Posted by wgs84 en Jueves, 19 febrero, 2009

maximaicon
Manual de máxima en castellano

Aquí, otro manual, este en pdf.
Página de Mario Rodríguez Riotorto

Curso de máxima para alumnos de secundaria

Os pongo un link de una página donde cuelgan vídeos sobre máxima y wxmaxima.

Información vista en barrapunto

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Debian Lenny 5.0 ya esta aquí

Posted by wgs84 en Domingo, 15 febrero, 2009

La nueva rama estable de mi sistema operativo preferido ya esta aquí, llegó el 14 de febrero del 2009
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Uno sobre un triángulo isósceles

Posted by wgs84 en Viernes, 13 febrero, 2009

Los puntos B (-1,3) y C (3,-3) son los vértices de un triángulo isósceles que tiene el tercer vértice A en la recta x+2y=15, siendo AB y AC los lados iguales. Calcular las coordenadas de A

El punto en cuestión, al estar sobre la recta x+2y-15=0 tendrá la forma A(15-2y, y). De esta forma hay una sóla incognita para una única condicón: el triángulo es isosceles (dos lados iguales).La ecuación que resulelve el problema es:
| \vec{AB}|=|\vec{AC}|
\sqrt{(15-2y+1)^2+(y-3)^2}=\sqrt{(15-2y-3)^2+(y+3)^2}
Elevando al cuadrado ambos miembros y desarrollando los productos notables
5y^2-70y+265=5y^2-42y +153
La coordenada y será y=4.
Y la coordenada x x=15-2y= 15-8=7
El punto es (7,4)

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Proyección de un punto sobre una recta y pie de la perpendicular

Posted by wgs84 en Domingo, 8 febrero, 2009

1)Hallar la proyección del punto P(-8, 12) sobre la recta que pasa por los puntos A(2, -3) y B(-5, 1).

Es la intersección de la recta que pasa por A y B con la perpendicular a esta que pasa por en punto P.

  1. Hallamos la ecuación de la recta r que pasa por los punto Ay B. El vector director será \vec{AB}=(-7,4).
    La ecuación continua \dfrac{x-2}{-7}=\dfrac{y+3}{4}. En forma general r :4x+7y+13=0
  2. Obtenemos la recta s perpendicular a r que pasa por el punto P. El vector director será (4, 7). La ecuación continua \dfrac{x+8}{4}=\dfrac{y-12}{7}. En forma general 7x+4y+104=0
  3. El punto que buscamos es la solución del sistema formado por las rectas r y s.
    \left \{ \begin{array}{rcl} 4x-7y-13=0 \\ 7x-4y+104=0 \end{array} \right.
    Cuya solución es x=-12,y=5

2)Hallar la ecuación de la recta, si el punto P(2, 3) es la base de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la recta.

El vector perpendicular a la recta es \vec{OP}=(2,3). Por lo tanto el vector de la recta es \vec{v}= (-3,2) y el punto por el que pasa P( 2,3).
Su ecuación continua: \dfrac{x-2}{-3}=\dfrac{y-3}{2}

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Área de un triángulo

Posted by wgs84 en Martes, 3 febrero, 2009

Halla el área del triángulo de vértices A(2,-2), B(-8,4) Y C(5,3)

El área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura.
La altura es la longitud del segmento que desde un vértice al lado opuesto en perpendicular (base)

Calcularemos la altura respecto al lado BC

  1. Calculamos la recta sobre la que se apoya el lado BC.
    El vector \vec{BC}=(13, -1)
    La recta en ecuación continua es \dfrac{x-5}{13}=\dfrac{y-3}{-1}
    En forma general es r: x+13y-44=0
  2. La altura será la distancia del vértice A a la recta r
    \dfrac{|2+13(-2) -44|}{\sqrt{170}}=\dfrac{68}{\sqrt{170}}
  3. La longitud de la base será el móduco del \vec{BC}.
    |\vec{BC}|=\sqrt{13^2+(-1)^2}=\sqrt{170}
  4. Por último el área del triágulo será \dfrac{1}{2} \sqrt{170} \dfrac{68}{\sqrt{170}}=34

También se puede calcular mediante determinantes:
triangulo
\dfrac{1}{2} \left | \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ 1 & -8 & 4 \\ 1 & 5 & 3 \end{array} \right |= \dfrac{1}{2} (-24-10+8-16-20-6)=-34. Tomaremos el valor absoluto

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