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Examen Geometría analítica 2008-2009

Posted by wgs84 en Viernes, 20 febrero, 2009

  1. Resuleve 3(x-2, 5)= 2(y-3, 1) +4(2, x-2y)

    (3x-6, 15)=(2y-6, 2)+(8, 4x-8y)=(2y+2, 4x-8y+2)
    La igualdad de vectores da lugar a un sistema de ecuaciones
    \left. \begin{array}{rcl} 3x-6=2y+2 \\ 15=4x-8y+2 \end{array} \right \}
    \left. \begin{array}{rcl} 3x-2y=8 \\ 4x-8y=13 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por igualación \dfrac{8+2y}{3}=\dfrac{13+8y}{4}
    32+8y=39+24y y=\dfrac{-7}{16}
    x=\dfrac{8-\dfrac{7}{8}}{3}=\dfrac{19}{8}

  2. Obten las ecuaciones vectorial, paramétricas, continua, punto-pendiente, general ,explicita y canónica de la recta que pasa por el punto P(5,6) y cuya pendiente es -2

    Si la pendiente es -2 un vector director es \vec{v} (1,-2) pues la pendiente es m=\dfrac{v_2}{v_1}

    • vectorial: (x,y)=(5,6) +t(1,-2)   t \in setR
    • paramétricas: \left \{ \begin{array}{rcl} x= 5 +t \\ y=6-2t \end{array} \right.
    • continua: \dfrac{x-5}{1}=\dfrac{y-6}{-2}
    • general: -2x+10=y-6 \rightarrow 2x+y-16=0
    • punto-pendiente y-6=-2(x-5)
    • explicita: y= -2x+16
    • canónica: los puntos de corte (0,16) y (8,0) la ecuación será \dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{16}=1
  3. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto de corte con el eje OY de la recta x-7y-21=0 y es paralela a la recta 3x-2y+1=0

    Punto de corte de x-7y-21=0 con eje OY Si x=0 entonces y= -3 (0,-3) . El vector director es \vec{v}(2,3).
    La ecuación continua es \dfrac{x-0}{2}=\dfrac{y+3}{3}. Y en forma general 3x-2y-6=0

  4. Sea el triángulo de vértices A(4,1), B(12,3) y C (8,7). Calcula
    a) Baricentro
    b) El perímetro
    c) El ángulo A

    Para calcular el baricentro obtendremos el punto de corte de dos de las medianas del triángulo.
    MEDIANA DEL LADO AB

    • Punto medio del segmento AB M(8, 2)
    • Vector \vec{CM}=(0, -5) Podemos coger como vector director (0,1) paralelo al anterior.
    • La mediana x=8 pasa por M y C

    MEDIANA DEL LADO AC

    • Punto medio del segmento AC N(6,4)
    • Vector \vec{BN}=(-6,1)
    • L a mediana x+6y -30=0 pasa por N y B

    El baricentro sera la solución del sistema \left. \begin{array}{rcl} x=8 \\x+6y-30=0 \end{array} \right\}
    Cuya solución es \left ( 8, \dfrac{11}{3} \right )
    Podemos comprobar el resultado con la fórmula del baricentro de un triángulo
    \left ( \dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}, \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3} \right )
    En nuestro caso \left ( \dfrac{4+12+8}{3}, \dfrac{1+3+7}{3} \right )= \left ( 8, \dfrac{11}{3} \right )
    Para calcular el perímetro sumaremos los módulos de los vectores que forman los lados
    | \vec{AC}|=\sqrt{ (8-4)^2+(7-1)^2}=2 \sqrt{13}
    | \vec{AB}|=\sqrt{(12-4)^2+(3-1)^2}=2 \sqrt{17}
    | \vec{BC}|=\sqrt{(8-12)^2+(3-7)^2}=4 \sqrt{2}
    perimetro= 2 \sqrt{13}+ 2 \sqrt{17}+4 \sqrt{2}

    El ángulo en A es el ángulo formado por los vectores \vec{AB}(8, 2) y \vec{AC}(8,2). \cos A= \dfrac{ 8 \cdot 4 + 2 \cdot 6}{4 \sqrt{13}\sqrt{17}}=\dfrac{11}{\sqrt{221}}
    A= 42º 16′ 25.28”

  5. Calcula la mediatriz del segmento formado por el punto de corte de la recta 3x-5y+15= 0 con el eje OX y el punto de abcisa 4 (x= 4) de la recta y= 3x-10. ¿Qué ángulo formará la mediatriz con el eje OX?

    La mediatriz es la recta perpendicular a un segmento AB que pasa por su punto medio M.

    • A va a ser el punto de corte de la recta 3x-5y+15= 0 con el eje OX. si y=0 tendremos que 3x+15=0 y el punto A será A(-5, 0)
    • B va ser el punto de abcisa 4 (x= 4) de la recta y= 3x-10. Si x=4 la coordenada y es y=3 \cdot 4-10=2. El punto B(4, 2)
    • M va a ser el punto medio del segmento AB M \left ( -\dfrac{1}{2}, 1 \right )
    • Vamos a sacar un vector perpendicular al segmento AB. \vec{AB}= (9,2). Un vector perpendicular a él será \vec{v}(2,-9)
    • La mediatriz pasará por M y tendrá como vector director \vec{v}(2,-9). En forma continua \dfrac{x+\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{y-1}{-9}. En forma general 18x+4y+5=0

    La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma una recta con el eje de abcisas.La pendiente de nuesta recta e m= \dfrac{-9}{2}= \tan \alpha
    \alpha=102º 31′ 43.7” .
    Es 180º + el ángulo negativo que sale en la calculadora ya que la función arctan (tan^-1) de la calculadora trabaja entre -90º y 90º.

  6. Calcula las coordenadas de los puntos del segmento de extremos A(1, 2) y B( 6, 9) que lo dividen en tres partes iguales

    Los puntos buscados serán C y D tales que cumplirán las ecuaciones:

    • 4 \vec{AC}=\vec{AB}
      4(x-1, y-2)=(5, 7) . De esta ecuación vectorial C \left ( \dfrac{9}{4}, \dfrac{15}{4} \right )
    • \vec{AD}=\dfrac{3}{4} \vec{AB}
      (x-1, y-2)=\dfrac{3}{4} \cdot (5, 7). De esta ecuación vectorial D \left ( \dfrac{19}{4}, \dfrac{29}{4} \right )

2 comentarios to “Examen Geometría analítica 2008-2009”

  1. osiris said

    muchisimas gracias, en verdad que me sirvieron de mucho..! biie..! XoXo

  2. Mamasito said

    Me está ayudando mucho a llevar un examen de recuperacion adelante !!! gracias!!!!

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