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Indeterminación infinito partido infinito en límites de funciones exponenciales

Posted by wgs84 en Miércoles, 13 mayo, 2009

Para resolver estos límites hay que tener en cuenta estas consideraciones:

a^{+\infty}= \left \{ \begin{array}{lcl} +\infty & a >1 \\  0 &  0<a<1 \\ \mbox{no existe limite si } & a<0 \end{array} \right.
a^{-\infty}= \left \{ \begin{array}{lcl} 0 & a >1 \\  +\infty &  0<a<1 \\ \mbox{no existe limite si } & a<0 \end{array} \right.

Veamos unos ejemplos
2^{+\infty}=+\infty
2^{-\infty}= \dfrac{1}{2^{+\infty}}=\dfrac{1}{+\infty}=0
\left ( \dfrac{1}{2} \right )^{+\infty}=\dfrac{1}{2^{+\infty}}=\dfrac{1}{+\infty}=0
\left ( \dfrac{1}{2} \right )^{-\infty}= 2^{+\infty}=+\infty

Si la base es negativa, al quedar elevada a infinito cambiaría d esigno según fuese par o impar el exponente, por lo que no habrá límite

Pasamos al cálculo de límites

  1. \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \dfrac{3x-5}{2x+3} \right )^{1-3x}

    dividimos en la base por el término de mayor grado:
    \displaystyle \lim_{x\rightarrow + \infty} \left ( \dfrac{3-\dfrac{5}{x}}{2+\dfrac{3}{x}} \right )^{1-3x}
    Sustituimos por + \infty y no queda
    \left ( \dfrac{3}{2} \right )^{-\infty}=\left ( \dfrac{2}{3} \right )^{+\infty}=0
    porque 2/3 es menor que 1

  2. \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \dfrac{ 3x^2-5x-2}{x^2-1} \right )^{\dfrac{4x-5}{2x+1}}
    Si sustituimos en base y exponente obtenemos infinito partido infinito en ambos casos. Resolvemos la indeterminación independientemente en base y exponente dividiendo en cada uno por su término de mayor grado. x^2 en la base y x en el exponente.
    \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \dfrac{ 3- \dfrac{5}{x}-\dfrac{2}{x^2}}{1-\dfrac {1}{x^2}} \right )^{\dfrac{4-\dfrac{5}{x}}{2+\dfrac{1}{x}}}

    sustituyendo nos da 3^2=9

  3. \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} \left ( \dfrac{ 2x-7}{5x-3} \right )^{2x+1}
    \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} \left ( \dfrac{ 2-\dfrac{7}{x}}{5-\dfrac{3}{x}} \right )^{2x+1}

    Sustituyendo: \left ( \dfrac{2}{5} \right )^{-\infty}=\left ( \dfrac{5}{2} \right )^{+\infty}= +\infty

    ya que 5/2 es mayor que 1

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