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Circunferencia y rectas tangentes

Posted by wgs84 en Sábado, 22 agosto, 2009

1) Hallar la ecuación de la circuferencia que pasa por (3,6) y es tangente a a x+y-11=0 y a x-7y+57=0

Sea (a,b) el centro de la circunferencia.

  1. Pasa por ( 3,6), luego el radio será \sqrt{(3-a)^2+(6-b)^2}
  2. Es tangente a x+y-11=0, luego el radio será la distancia del centro a esa recta \dfrac{|a+b-11|}{\sqrt{2}}
  3. Es tangente a -7y+57=0, luego el radio será la distancia del centro a esa recta \dfrac{|a-7b+57|}{\sqrt{50}}

De estas tres ecuaciones formaremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas igualando la 1ª con la 2ª y la 2ª con la 3ª. Elevaremos al cuadrado para eliminar los radicales

  • \dfrac{(a+b-11)^2}{2}=9-6a+a^2+36-12b+b^2. Desarrollando nos queda:
    -b^2+2ab+2b-a^2-10a+31= 0
  • \dfrac{(a-7b+57)^2}{50}=9-6a+a^2+36-12b+b^2.Desarrollando nos queda:-b^2-14ab-198b-49a^2+414a+999=0

Para resolver el sistema no lineal resultante restamos las dos ecuaciones para eliminar el término en b^2
16ab+200b+48a^2-424a-968=0. Simplificando (dividir a ambos lados por ocho ) nos queda:2ab+25b+6a^2-53a-121=0.
De aquí podemos despejar b en función de a y resolver el sistema por sustitución:
b= \dfrac{-6a^2+53a+121}{2a+25}.

Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones originales se obtienen los siguientes resultados
a=-4,b=-11 y a=2, b=7

Para obtener las ecuaciones de las circunferencias nos falta el radio que lo calcularemos sustituyendo en cualquiera de las tres expresiones a partir de las cuales hemos montado el sistema. Por ejemplo r= \sqrt{(3-a)^2+(6-b)^2}

Si a=-4,b=-11 entonces r=\sqrt{338} y la ecuación será (x+4)^2+(y+11)^2= 338

Si a=2, b=7 entonces r= \sqrt {2} y la circunferencia será (x-2)^2+(y-7)^2=2

2) Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 2 tangente a 5x-12y+6=0 y a 3x-4y +2=0

Sea (a,b) el centro de la circunferencia. De las dos condicones de tangencia obtendremos 2 ecuaciones

  1. Si la circunferencia es tángente a 5x-12y+6=0 entonces: \dfrac{|5a-12b+6|}{13}=2
  2. Si la circunferencia es tángente a 3x-4y+2=0 entonces: \dfrac{|3a-4b+2|}{5}=2

De cada ecuación con valor absoluto obtenemos dos ecuaciones:

  1. 5a-12b+6=26
  2. 5a-12b+6=-26
  3. 3a-4b+2=10
  4. 3a-4b+2=-10

Las coordenadas (a,b) las obtendremos combinando las distintas ecuaciones

  • Combinando la 1 y la 3 obtenemos a=1,b=-\dfrac{5}{4} y la circunferencia será: (x-1)^2+\left ( y+\dfrac{5}{4} \right )^2=4
  • Combinando la 1 y la 4 obtenemos a=-14, b=-\dfrac{15}{2} y la circunferencia será: (x+14)^2+\left ( y +\dfrac{15}{2} \right )^2= 4
  • Combinando la 2 y la 3 obtenemos a=14, b=\dfrac{17}{2} y la circunferencia será : (x-14)^2+\left ( y-\dfrac{17}{2} \right )^2= 4
  • Combinando la 2 y la 4 obtenemos a=-1, b=\dfrac{9}{4} y la circunferencia será: (x+1)^2+ \left ( y -\dfrac{9}{4} \right )^2=4
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