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Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Archive for the ‘Matemáticas’ Category

Factorización de polinomios I. Extracción de factor común

Posted by wgs84 en Domingo, 16 enero, 2011

Factorizar un polinomio es convertirlo en producto de otros de menor o igual grado.

La extracción de factor común es la operación inversa de la propiedad distributiva a(b+c)=ab +ac
Si leemos está igualdad de izquierda a derecha estamos ante la propiedad distributiva. Si lo hacemos de derecha a izquierda estamos ante la “extracción de factor común”.

Una expresión algebraica esta compuesta por distintos términos separados por los signos se suma y resta. Cada término está formado por diversos “factores” .ara extraer factor común analizamos cada uno de los términos de la expresión algebraica buscando factores que se repitan en todos y cada uno de los términos

3x^2 +3y -3z. En está expresión el factor “3” se repite en todos los términos y por lo tanto lo podemos extraer fuera: 3(x^2+y-z).
Hay que observar que si se aplica la propiedad distributiva se vuelve a la expresión original.

Para extraer factor común correctamente hay que fijarse en algunos aspectos:

  1. Los números pueden descomponerse en factores: 8x^2 +4y^3 +12xy= 4(2x^2+y^3+3xy)
  2. Si aparece un factor común con distintos exponentes se extrae siempre el de menor exponente 7x^2 +5x^3 +9x^4= x^2(7+5x+9x^2)
  3. Si un término “desaparece por completo al extraer factor común se coloca un 1 o un -1 5x^4+3x^3+x^2=x^2(5x^2+3x+1) -3a^5 +8a^4 -a^3=a^3(-3a^2+8a-1)
  4. Se pueden sacar más de un factor 12x^2 y^3 -14xy^2 +22x^4 y^4= 2xy^2(6xy-7+11x^3 y^2)
  5. Los factores también pueden estar en los denominadores \dfrac{3x^3}{8} + \dfrac{5x^4}{4} -\dfrac{x^2}{12}=\dfrac{x^2}{4} \cdot \left ( \dfrac{3x}{2}+5x^2-\dfrac{1}{3} \right )

Ejemplos:
\dfrac{3x^2 y^3}{5z^4} +\dfrac{6x^3 y^2}{20z^2}-\dfrac{9xy^5}{25 z^3}= \dfrac{3xy^2}{5z^2} \cdot \left ( \dfrac{y}{z^2} +\dfrac{2x^2}{4}-\dfrac{3y^3}{5z} \right )

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Suma de radicales. Radicales semejantes

Posted by wgs84 en Sábado, 6 noviembre, 2010

Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando:

2 \cdot \sqrt{7}, -3 \cdot \sqrt{7} y 15 \cdot \sqrt{7 }

son semejantes y por lo tanto se pueden sumar:

2 \cdot \sqrt{7} -3 \cdot \sqrt{7} + 15 \cdot \sqrt{7 }=14 \cdot \sqrt{7}

Ejercicio 1:

2 \cdot \sqrt{24} -5 \cdot \sqrt{54} + \sqrt{96}- 4 \cdot \sqrt{6}

Para buscar radicales semejantes descomponemos en factores primos los radicandos y extraemos factores:

2 \cdot \sqrt{2^3 \cdot 3} -5 \cdot \sqrt{3^3 \cdot 2} + \sqrt{2^5 \cdot 3}
2 \cdot \sqrt{2^2 \cdot 2 \cdot 3} -5 \cdot \sqrt{3^2 \cdot 3 \cdot 2} + \sqrt{2^4 \cdot 2 \cdot 3}
2 \cdot 2 \sqrt{\cdot 2 \cdot 3} -5 \cdot 3 \sqrt{ 3 \cdot 2} +2^2 \sqrt{ 2 \cdot 3}
4 \sqrt{2 \cdot 3} -15 \sqrt{ 3 \cdot 2} +4 \sqrt{ 2 \cdot 3}= -7 \sqrt{6}

Ejercicio 2:

\dfrac{1}{3} \sqrt{12} - \dfrac{2}{5} \sqrt{27} + \dfrac{1}{2} \sqrt{75}

\dfrac{1}{3} \sqrt{2^2 \cdot 3} - \dfrac{2}{5} \sqrt{3^3} + \dfrac{1}{2} \sqrt{5^2 \cdot 3}
\dfrac{1}{3} \sqrt{2^2 \cdot 3} - \dfrac{2}{5} \sqrt{3^2 \cdot 3} + \dfrac{1}{2} \sqrt{5^2 \cdot 3}
\dfrac{2}{3} \sqrt{3} - \dfrac{6}{5} \sqrt{3} + \dfrac{5}{2} \sqrt{ 3}= \dfrac{59}{30} \sqrt{3}

Ejercicio 3:

2a \sqrt{3a}- \sqrt{27a^3}+a \sqrt{12a}

2a \sqrt{3a}- \sqrt{3^3 a^3}+a \sqrt{2^2 \cdot 3 a}
2a \sqrt{3a}- \sqrt{3^2 \cdot 3  a^2 a}+a \sqrt{2^2 \cdot 3 a}
2a \sqrt{3a}- 3a \sqrt{3a}+2a \sqrt{3a}= a \sqrt{3a}

Ejercicio 4:

2 \sqrt[3]{16x^5}-x \sqrt[3]{54x^2} + \sqrt[6]{256x^10}
2 \sqrt[3]{2^3 \cdot 2 x^3 x^2}-x \sqrt[3]{3^3 \cdot 2 x^2} + \sqrt[6]{2^6 \cdot 2^2 x^6 x^4}
4x \sqrt[3]{2x^2}-3x \sqrt[3]{2x^2} +2x \sqrt[6]{2^2 x^4}

Simplificando el tercer radical nos queda:

4x \sqrt[3]{2x^2}-3x \sqrt[3]{2x^2} +2x \sqrt[3]{2x^2}= 3x \sqrt[3]{2x^2}

Ejercicio 4:

\sqrt{\dfrac{3}{2}} +\sqrt{\dfrac{2}{3}} -\sqrt{6} +\sqrt{\dfrac{1}{6}}

Para buscar radicales semejantes racionalizamos los denominadores

\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} +\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} -\sqrt{6} + \dfrac{1}{\sqrt{6}}
\dfrac{\sqrt{6}}{2} +\dfrac{\sqrt{6}}{3} -\sqrt{6} + \dfrac{\sqrt{6}}{6}=0.

De donde ha salido esto: \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}

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Circunferencia y rectas tangentes

Posted by wgs84 en Sábado, 22 agosto, 2009

1) Hallar la ecuación de la circuferencia que pasa por (3,6) y es tangente a a x+y-11=0 y a x-7y+57=0

Sea (a,b) el centro de la circunferencia.

  1. Pasa por ( 3,6), luego el radio será \sqrt{(3-a)^2+(6-b)^2}
  2. Es tangente a x+y-11=0, luego el radio será la distancia del centro a esa recta \dfrac{|a+b-11|}{\sqrt{2}}
  3. Es tangente a -7y+57=0, luego el radio será la distancia del centro a esa recta \dfrac{|a-7b+57|}{\sqrt{50}}

De estas tres ecuaciones formaremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas igualando la 1ª con la 2ª y la 2ª con la 3ª. Elevaremos al cuadrado para eliminar los radicales

  • \dfrac{(a+b-11)^2}{2}=9-6a+a^2+36-12b+b^2. Desarrollando nos queda:
    -b^2+2ab+2b-a^2-10a+31= 0
  • \dfrac{(a-7b+57)^2}{50}=9-6a+a^2+36-12b+b^2.Desarrollando nos queda:-b^2-14ab-198b-49a^2+414a+999=0

Para resolver el sistema no lineal resultante restamos las dos ecuaciones para eliminar el término en b^2
16ab+200b+48a^2-424a-968=0. Simplificando (dividir a ambos lados por ocho ) nos queda:2ab+25b+6a^2-53a-121=0.
De aquí podemos despejar b en función de a y resolver el sistema por sustitución:
b= \dfrac{-6a^2+53a+121}{2a+25}.

Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones originales se obtienen los siguientes resultados
a=-4,b=-11 y a=2, b=7

Para obtener las ecuaciones de las circunferencias nos falta el radio que lo calcularemos sustituyendo en cualquiera de las tres expresiones a partir de las cuales hemos montado el sistema. Por ejemplo r= \sqrt{(3-a)^2+(6-b)^2}

Si a=-4,b=-11 entonces r=\sqrt{338} y la ecuación será (x+4)^2+(y+11)^2= 338

Si a=2, b=7 entonces r= \sqrt {2} y la circunferencia será (x-2)^2+(y-7)^2=2

2) Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 2 tangente a 5x-12y+6=0 y a 3x-4y +2=0

Sea (a,b) el centro de la circunferencia. De las dos condicones de tangencia obtendremos 2 ecuaciones

  1. Si la circunferencia es tángente a 5x-12y+6=0 entonces: \dfrac{|5a-12b+6|}{13}=2
  2. Si la circunferencia es tángente a 3x-4y+2=0 entonces: \dfrac{|3a-4b+2|}{5}=2

De cada ecuación con valor absoluto obtenemos dos ecuaciones:

  1. 5a-12b+6=26
  2. 5a-12b+6=-26
  3. 3a-4b+2=10
  4. 3a-4b+2=-10

Las coordenadas (a,b) las obtendremos combinando las distintas ecuaciones

  • Combinando la 1 y la 3 obtenemos a=1,b=-\dfrac{5}{4} y la circunferencia será: (x-1)^2+\left ( y+\dfrac{5}{4} \right )^2=4
  • Combinando la 1 y la 4 obtenemos a=-14, b=-\dfrac{15}{2} y la circunferencia será: (x+14)^2+\left ( y +\dfrac{15}{2} \right )^2= 4
  • Combinando la 2 y la 3 obtenemos a=14, b=\dfrac{17}{2} y la circunferencia será : (x-14)^2+\left ( y-\dfrac{17}{2} \right )^2= 4
  • Combinando la 2 y la 4 obtenemos a=-1, b=\dfrac{9}{4} y la circunferencia será: (x+1)^2+ \left ( y -\dfrac{9}{4} \right )^2=4

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Indeterminación infinito partido infinito en límites de funciones exponenciales

Posted by wgs84 en Miércoles, 13 mayo, 2009

Para resolver estos límites hay que tener en cuenta estas consideraciones:

a^{+\infty}= \left \{ \begin{array}{lcl} +\infty & a >1 \\  0 &  0<a<1 \\ \mbox{no existe limite si } & a<0 \end{array} \right.
a^{-\infty}= \left \{ \begin{array}{lcl} 0 & a >1 \\  +\infty &  0<a<1 \\ \mbox{no existe limite si } & a<0 \end{array} \right.

Veamos unos ejemplos
2^{+\infty}=+\infty
2^{-\infty}= \dfrac{1}{2^{+\infty}}=\dfrac{1}{+\infty}=0
\left ( \dfrac{1}{2} \right )^{+\infty}=\dfrac{1}{2^{+\infty}}=\dfrac{1}{+\infty}=0
\left ( \dfrac{1}{2} \right )^{-\infty}= 2^{+\infty}=+\infty

Si la base es negativa, al quedar elevada a infinito cambiaría d esigno según fuese par o impar el exponente, por lo que no habrá límite

Pasamos al cálculo de límites

  1. \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \dfrac{3x-5}{2x+3} \right )^{1-3x}

    dividimos en la base por el término de mayor grado:
    \displaystyle \lim_{x\rightarrow + \infty} \left ( \dfrac{3-\dfrac{5}{x}}{2+\dfrac{3}{x}} \right )^{1-3x}
    Sustituimos por + \infty y no queda
    \left ( \dfrac{3}{2} \right )^{-\infty}=\left ( \dfrac{2}{3} \right )^{+\infty}=0
    porque 2/3 es menor que 1

  2. \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \dfrac{ 3x^2-5x-2}{x^2-1} \right )^{\dfrac{4x-5}{2x+1}}
    Si sustituimos en base y exponente obtenemos infinito partido infinito en ambos casos. Resolvemos la indeterminación independientemente en base y exponente dividiendo en cada uno por su término de mayor grado. x^2 en la base y x en el exponente.
    \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \dfrac{ 3- \dfrac{5}{x}-\dfrac{2}{x^2}}{1-\dfrac {1}{x^2}} \right )^{\dfrac{4-\dfrac{5}{x}}{2+\dfrac{1}{x}}}

    sustituyendo nos da 3^2=9

  3. \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} \left ( \dfrac{ 2x-7}{5x-3} \right )^{2x+1}
    \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} \left ( \dfrac{ 2-\dfrac{7}{x}}{5-\dfrac{3}{x}} \right )^{2x+1}

    Sustituyendo: \left ( \dfrac{2}{5} \right )^{-\infty}=\left ( \dfrac{5}{2} \right )^{+\infty}= +\infty

    ya que 5/2 es mayor que 1

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Problemas de sistemas (IV). Granjas y ruedas. 2º ESO

Posted by wgs84 en Domingo, 5 abril, 2009

  1. En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134 ¿Cuántos animales hay de cada clase?

    Identificación de incógnitas:x es el número de gallinas. y es el número de conejos.

    Planteamiento del sistema:

    • “Si se cuentan las cabezas, son 50”. x+y= 50
    • “las patas son 134”. 2x+4y= 134

    Resolución del sistema
    \left. \begin{array}{rcl} x+y=50 \\ 2x+4y= 134 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por sustitución:
    2x+4(50-x)=134
    2x+200-4x= 134
    2x= 66
    x= 33 gallinas y y= 50-33= 17 conejos

  2. En un taller hay vehículos de 4 y de 6 ruedas. Si disminuyera en dos el número de vehículos de 6 ruedas habría doble número de éstos que de cuatro ruedas ¿Cuántos vehículos hay de cada clase si en total hay 156 ruedas?

    Identificación de incógnitas:x es el número de vehículos de 4 ruedas. y es el número de vehículos de 6 ruedas.

    Planteamiento del sistema:

    • “Si disminuyera en dos el número de vehículos de 6 ruedas habría doble número de éstos que de cuatro ruedas”. y-2=2x
    • “en total hay 156 ruedas”. 4x+6y= 156

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} y=2x+2 \\ 4x+6y= 156 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por sustitución:
    4latex 4x+6(2x+2)=156$
    4x+12x+12=156
    16x= 144
    x= 9 vehículos de 4 ruedas. y= 2\cdot 9 +2=20 vehículos de 6 ruedas

  3. En una granja hay cerdos y gallinas, sumando el total de 4280 patas. Si disminuimos en 70 el número de cerdos, el números de gallinas será el triple que éstos ¿Cuántos cerdos y cuántas gallinas hay?

    Identificación de incógnitas:x es el número de cerdos. y es el número de gallinas.

    Planteamiento del sistema:

    • “4280 patas”. 4x+2y= 4280
    • “Si disminuimos en 70 el número de cerdos, el números de gallinas será el triple que éstos”. 3(x-70)=y

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} 4x+2y=4280 \\ y= 3x- 210 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por sustitución:
    4x+2(3x-210)=4280
    4x+6x-420=4280
    10x= 4700
    x= 470 cerdos y y= 3 \cdot 470 -210= 1200 gallinas

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Problemas de sistemas (III).Mezclas. 2º ESO

Posted by wgs84 en Domingo, 5 abril, 2009

  1. Se quieren mezclar vino de 0,65 euros con otro de 0.35 euros, de modo que resulte vino con un precio de 0,50 euros el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla?

    Identificación de incógnitas:
    x será la cantidad que interviene en la mezcla del vino de 0.65 euros/litro. y será la cantidad que interviene en la mezcla del vino de 0.35 euros/litro.
    Planteamiento del sistema

    • “200 litros de la mezcla”. x+y= 200
    • Planteamos la ecuación de mezcla( precio del primer vino por cantidad del primer vino más precio del segundo vino por precio del segundo vino igual a precio de la mezcla por cantidad de mezcla). 0,65x+0.35y=200 \cdot 0.5

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} x+y= 200 \\ 0,65x+0.35y=100 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por sustitución:
    y= 200 -x
    0.65x+0.35(200-x)= 100
    0.65x +70-0.35x= 100
    0.3x= 30
    x= 100 litros del primer vino y y= 200-100=100 litros del segundo vino.

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Problemas de sistemas (III). Problemas de edades.2º ESO

Posted by wgs84 en Sábado, 4 abril, 2009

  1. El doble de la edad de Juan más la de su hermano Pedro son 44 años. Y dentro de dos años la edad de Juan será el doble que la de Pedro ¿Cuántos años tienen cada uno?

    Identificación de incógnitas

    • Hoy: x es la edad de Juan. y es la edad de Pedro
    • Dentro de 2 años. La edad de Juan será x+2 y la edad de Pedro será y+2.

    Planteamiento del sistema

    • Hoy:”El doble de la edad de Juan más la de suhermano Pedro son 44 años”. 2x+y= 44
    • Dentro de dos años:”la edad de Juan será el doble que la de Pedro”.x+2=2(y+2)

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} 2x+y=44 \\ x-2y=2 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por sustitución:
    y=44-2x
    x-2(44-2x)=2
    x-88+4x=2
    5x= 90
    x= 18 años tiene Juan y Pedro tendrá y=44-2 \cdot 18= 8.

  2. La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años y hace 5 años la edad del padre era triple de la del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno?

    Identificación de incógnitas

    • Hoy: x es la edad del padre. y es la edad del hijo
    • Hace 5 años. La edad del padre era x-5 y la edad del hijo erá y-5.

    Planteamiento del sistema

    • Hoy:”La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años”.x+2y=120
    • Hace 5 años:”la edad del padre era triple de la del hijo”.x-5=3(y-5)

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} x+2y=120 \\ x-3y=-10 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos popr igualación despejando x:
    120-2y= 3y-10
    130=5y
    y=26 años tiene el hijo. Y el padre 3 \cdot 26 -10= 68 años

  3. Félix tiene 9 años más que su hermana y hace tres años sólo tenía el doble ¿Cuántos años tienen actualmente cada uno?

    Identificación de incógnitas

    • Hoy: Félix tien x años y su hermana y.
    • Hace tres años: Félix tenía x-3 y su hermana y-3.

    Plantemaineto del sistema:

    • Hoy:”Félix tiene 9 años más que su hermana”. x=y+9
    • Hace 3 años: “sólo tenía el doble “.x-3=2(y-3)

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} x=y+9 \\ x=2y-3 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por igualación:
    y+9=2y-3
    y=12 es la edad de la hermana de Félix
    x= 12+9= 21 es la edad de Félix

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Problemas de sistemas (II). Compras y repartos. 2º ESO

Posted by wgs84 en Sábado, 4 abril, 2009

  1. Compro 2 revistas por 27 euros ¿Cuánto me costo cada una si una valía 3 euros menos que la otra?

    Identificación de incógnitas: x es la revista de menor precio, y es la revista de mayor precio.
    Planteamiento del sistema:

    • Primera ecuación:”2 revistas por 27 euros”. x+y=27
    • Segunda ecuación:”una valía 3 euros menos que la otra”. y=x+3

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} x+y=27 \\ y=x+3 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por sustitución:
    x+x +3= 27
    x= 12
    y= 12+3= 15

  2. Divide el número 54 en dos partes de modo que al multiplicar una por 3 y la otra por 2 el resultado sea 128

    Identificación de incógnitas: x es el primer núemro, y es el segundo
    Planteamiento del sistema:

    • Primera ecuación:”Divide el número 54 en dos partes”. x+y=54
    • Segunda ecuación:”al multiplicar una por 3 y la otra por 2 el resultado sea 128″.3x+2y= 128

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} x+y=54 \\ 3x+2y= 128  \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por sustitución:
    x= 54-y
    3(54-y)+2y=128
    162-3y+2y=128
    34=y
    x= 54-34=20

  3. En una feria de ganado hemos comprado tres potros y cinco corderos por 2650 euros mientras que un vecino ha adquirido un potro y ocho corderos por 1200 euros ¿Cuál era el precio de cada animal?

    Identificación de incógnitas: x es el precio de un potro, y es el precio de un cordero.
    Planteamiento del sistema:

    • Primera ecuación:”tres potros y cinco corderos por 2650″. 3x+5y= 2650
    • Segunda ecuación:”un potro y ocho corderos por 1200 euros”.x+8y= 1200

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} 3x+5y=2650 \\ x+8y= 1200  \end{array} \right \}

    Lo resolvemos por sustitución:
    x= 1200-8y
    3(1200-8y)+5y= 2650
    3600-24y+5y= 2650
    19y=950
    y= 50
    x=1200- 50 \cdot 8= 800

  4. Un canaricultor vende los canarios a 15 euros cada uno y las canarias a 6 euros cada una. En total ha recaudado 570 euros. Si las canarias exceden en 5 al doble de los canarios ¿Cuántos hay de cada sexo?

    Identificación de incógnitas: x es el número de canarios macho, y es el núemero de canarios hembra.
    Planteamiento del sistema:

    • Primera ecuación:”Un canaricultor vende los canarios a 15 euros cada uno y las canarias a 6 euros cada una. En total ha recaudado 570 euros”. 15x+6y= 570
    • Segunda ecuación:”las canarias exceden en 5 al doble de los canarios”. y= 2x+5

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} 15x+6y=570 \\ y=2x+5  \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por sustitución:
    15x+6(2x+5)=570
    15x+12x+30=570
    27x= 540
    x= 20 canarios
    y= 2 \cdot 20+5= 45 canarias

  5. Dos investigadores tienen 48 ratones blancos para experimentar. Si el primero de ellos le da dos ratones al segundo, esté tendrá el doble de animales que áquel ¿Cuántos animales tiene cada uno?

    Identificación de incógnitas: x es el número de ratones que tiene el primer investigador, y es el núemero de ratones que tiene el segundo investigador.
    Planteamiento del sistema:

    • Primera ecuación:”Dos investigadores tienen 48 ratones”. x+y= 48
    • Segunda ecuación:”Si el primero de ellos le da dos ratones al segundo El primero se queda con x-2 y el segundo con y+2) , esté tendrá el doble de animales que áquel”. y+2=2(x-2)

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} x+y=48 \\ y+2=2(x-2)  \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por sustición
    \left. \begin{array}{rcl} x+y=48 \\ y=2x-6  \end{array} \right \}
    x +2x-6=48
    3x= 54
    x= 18 ratones tenía el primer investigador
    y= 2 \cdot 18 -6= 30 ratones tenía el 2º investigador

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Problemas con sistemas de ecuaciones (I).Problemas aritméticos con números. 2º ESO

Posted by wgs84 en Jueves, 2 abril, 2009

Los problemas en los que aparecen dos o más incógnitas se pueden resolver mediante el uso de sistemas de ecuaciones. En 2º ESO nos vamos a centrar en problemas lineales (ecuaciones de primer grado) con dos incógnitas.

Muchos de estos sistemas se pueden resolver también mediante el uso de una ecuación pero la utilización de 2 incógnitas (x, y normalmente) facilita tanto la identificación de incógnitas como el planteamiento de la ecuación/es.

Al igual que en el caso de los problemas de ecuaciones los iremos clasificando por tipos.

  1. Halla dos números sabiendo que la suma del doble del mayor con la mitad del menor nos dé 150 y sabiendo que cuatro veces el menor supera en 22 unidades al triple del mayor

    Identificación de incógnitas:

    • El número mayor es x y el menor es y
    • El doble del mayor: 2x
    • La mitad del menor: x/2
    • Cuatro veces el menor: 4y
    • Triple del mayor: 3x

    Planteamiento del sistema:

    • Primera ecuación:”la suma del doble del mayor con la mitad del menor nos dé 150″. 2x+\dfrac{y}{2}=150
    • Segunda ecuación:”cuatro veces el menor supera en 22 unidades al triple del mayor”. 4y=3x+22

    Resolución del sistema
    \left. \begin{array}{rcl} 2x+\dfrac{y}{2}=150  \\ 4y=3x+22 \end{array} \right \}
    Eliminamos denominadores el la primera ecuación y nos queda el sistema en forma standard:
    \left. \begin{array}{rcl} 4x+y= 300 \\ -3x+4y= 22 \end{array} \right \}.
    Lo resolvemos por sustitución:
    y= 300-4x (*)
    -3x+4(300-4x)=22
    -3x+1200-16x= 22
    x= 62 . Sustituyendo en (*) y=300-4 \cdot 62= 52

  2. La suma de dos números es 243 ¿Qué números son si uno es el doble del otro?

    Identificación de incógnitas: x es un número e y es otro número.
    Planteamiento del sistema:

    • Primera ecuación:”uno es el doble del otro”. y=2x
    • Segunda ecuación: “La suma de dos números es 243” x+y= 243

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} y= 2x \\ x+y= 243 \end{array} \right \}
    Los resolvemos directamente por sustitución:
    x+2x= 243
    x= 81 y por lo tanto y=2 \cdot 81= 162

  3. Los 3/5 de un número es igual a la mitad de otro. Teniendo en cuenta que el doble del primer número supera en 40 unidades al segundo ¿De qué números se trata?

    Identificación de incógnitas:

    • Un número es x y el otro y
    • Tres quintos de un número: 3x/5
    • Mitad del otro: y/2
    • El doble del primero : 2x

    Planteamiento del sistema:

    • Primera ecuación:”Los 3/5 de un número es igual a la mitad de otro”. \dfrac{3}{5}x=\dfrac{y}{2}
    • Segunda ecuación:”el doble del primer número supera en 40 unidades al segundo”.2x= y+40

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} \dfrac{3}{5}x=\dfrac{y}{2} \\ 2x= y+40 \end{array} \right \}
    Eliminamos denominadores en la primera ecuación y ordenamos la segunda y nos queda el sistema en forma standard:
    \left. \begin{array}{rcl} 6x-5y=0 \\ 2x- y=40 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por sustitución:
    2x-40= y (*)
    6x-5(2x-40)= 0
    6x-10x+200=0
    x= 50. Sustituyendo en (*). y= 2 \cdot 50-40=60

  4. Halla dos números en los que la tercera parte del mayor es igual al doble del número anterior al menor. También sabemos que la diferencia entre el mayor y el cuádruplo del menor es 8

    • El mayor es x y el menor y
    • La tercera parte del mayor: x/3
    • El anterior del menor: y-1
    • El cuadruplo del menor: 4x
    • Primera ecuación:”la tercera parte del mayor es igual al doble del número anterior al menor”. \dfrac{x}{3}=2(y-1)
    • Segunda ecuación:”a diferencia entre el mayor y el cuádruplo del menor es 8″. x-4y=8
  5. identificación de incógnitas:

    Planteamiento del sistema

    Resolución del sistema
    \left. \begin{array}{rcl} \dfrac{x}{3}=2(y-1) \\ x-4y= 8 \end{array} \right \}
    Elimnando denominadores y ordenando el sistema obtenemos el siguiente sistema standard:
    \left. \begin{array}{rcl} x-6y=-6 \\ x-4y= 8 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por igualación despejando la x en ambas ecuaciones.
    x= 6y-6 y x= 8+4y (*)
    6y-6=4y+8
    2y=14
    y= 7
    sustituyendo en una de las dos ecuaciones de (*) tenemos
    x= 6 \cdot7-6=36

  6. La suma de dos números con el anterior del mayor es 419. Si el doble del mayor es 5 veces el menor ¿ Cuáles son dichos núnmeros?

    Identificación de incógnitas:

    • El mayor será x y el menor y
    • el anterior del mayor: x-1
    • el doble del mayor: 2x
    • 5 veces el menor: 5y

    Planteamiento del sistema

    • Primera ecuación: ” La suma de dos números con el anterior del mayor es 419″.x+y+x-1=419
    • Segunda ecuación:”el doble del mayor es 5 veces el menor”. 2x= 5y

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} x+y+x-1=419 \\ 2x= 5y  \end{array}  \right \}ç
    \left. \begin{array}{rcl} 2x+y=420 \\ 2x- 5y=0  \end{array}  \right \}
    Lo resolvemos por reducción restando las dos ecuaciones.
    6y= 420
    y=70
    sustituyendo en la primera ecuación 2x+70=420
    x= \dfrac{350}{2}=175

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Otro de triángulos isosceles

Posted by wgs84 en Viernes, 20 marzo, 2009

EL LADO DESIGUAL DEL TRIANGULO ISOSCELES TIENE POR EXTREMOS LOS PUNTOS A(3,-1)Y B(6,2).HALLAR LAS COORDENADAS DEL TERCER VERTICE C. SI EL AREA DEL TRIANGULO ABC ES 7,5

Si es un triángulo isosceles la distancia AC es igual a la distancia BC. De aquí sale la ecuación:
\sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2} =\sqrt{(x-6)^2+(y-2)^2}
Elevando al cuadrado ambos términos y desarrollando los cuadrados:
x^2-6x+9+y^2+2y+1=x^2-12x+36+y^2-4y+4
Agrupando términos y simplificando obtenemos la ecuación de la mediatriz del segmento AB:
x+y-5=0 (1)

Por otro lado, el área del triángulo es 7.5. Bién, el área del triángulo será \dfrac{1}{2} \cdot  | \vec{AB}| \cdot h
Donde \vec{AB} es la base y h la altura, qué es la distancia del punto incógnita C a la recta que pasa por los puntos A y B.
Vamos a despejar el valor de h:

  • La longitud de la base|\vec{AB}|=\sqrt{ (3-6)^2+(-1-2)^2}=3 \sqrt{2}
  • Despejamos h de la expresión del área del triángulo 7.5= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{2} \cdot h. De donde obtenemos que h= \dfrac{5}{\sqrt{2}}

La recta que pasa por AB será: x-y-4=0
Usando la ecuación de la distancia punto recta tendremos:
\dfrac{5}{\sqrt{2}}= \dfrac{| x-y-4|}{\sqrt{2}}
|x-y-4|= 5
De la ecuación con valor absoluto obtendremos dos ecuaciones una para el signo + y otra para el signo -:
(2) x-y-4=5 \rightarrow x-y-9=0
(3) x-y-4=-5 \rightarrow x-y+1=0

Los puntos solución se obtendrán de resolver los sistemas de ecuaciones:
(1) y (2)

\left. \begin{array}{rcl}  x+y-5=0  \\ x-y-9=0 \end{array} \right\}
Sumando las ecuaciones (reducción) obtenemos facilmente la primera solución:(7, -2)

y (1) y (3)

\left. \begin{array}{rcl}  x+y-5=0  \\ x-y+1=0 \end{array} \right\}
Cuya solución es (2, 3)

tisosceles

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