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Archive for the ‘Divisibilidad de polinomios’ Category

Teorema de factor

Posted by wgs84 en Lunes, 23 septiembre, 2013

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x – a) si y sólo si P(x = a) = 0.

Demostración

Si  P(a)=0, entonces por el Teorema de resto la división de P(x) entre (x-a) es exacta (R=0):

P(x) |__x-a___

  0       Q(x)          

(x-a) es factor de P(x)P(x)=(x-a) ·Q(x) 

 

Si  (x-a) es factor de P(x) entonces  P(x)=(x-a) ·Q(x) y P(a)=(a-a)·Q(a)=0. El polinomio se anula para x=a.

c.q.d

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Factorización de polinomios I. Extracción de factor común

Posted by wgs84 en Domingo, 16 enero, 2011

Factorizar un polinomio es convertirlo en producto de otros de menor o igual grado.

La extracción de factor común es la operación inversa de la propiedad distributiva a(b+c)=ab +ac
Si leemos está igualdad de izquierda a derecha estamos ante la propiedad distributiva. Si lo hacemos de derecha a izquierda estamos ante la “extracción de factor común”.

Una expresión algebraica esta compuesta por distintos términos separados por los signos se suma y resta. Cada término está formado por diversos “factores” .ara extraer factor común analizamos cada uno de los términos de la expresión algebraica buscando factores que se repitan en todos y cada uno de los términos

3x^2 +3y -3z. En está expresión el factor “3” se repite en todos los términos y por lo tanto lo podemos extraer fuera: 3(x^2+y-z).
Hay que observar que si se aplica la propiedad distributiva se vuelve a la expresión original.

Para extraer factor común correctamente hay que fijarse en algunos aspectos:

  1. Los números pueden descomponerse en factores: 8x^2 +4y^3 +12xy= 4(2x^2+y^3+3xy)
  2. Si aparece un factor común con distintos exponentes se extrae siempre el de menor exponente 7x^2 +5x^3 +9x^4= x^2(7+5x+9x^2)
  3. Si un término “desaparece por completo al extraer factor común se coloca un 1 o un -1 5x^4+3x^3+x^2=x^2(5x^2+3x+1) -3a^5 +8a^4 -a^3=a^3(-3a^2+8a-1)
  4. Se pueden sacar más de un factor 12x^2 y^3 -14xy^2 +22x^4 y^4= 2xy^2(6xy-7+11x^3 y^2)
  5. Los factores también pueden estar en los denominadores \dfrac{3x^3}{8} + \dfrac{5x^4}{4} -\dfrac{x^2}{12}=\dfrac{x^2}{4} \cdot \left ( \dfrac{3x}{2}+5x^2-\dfrac{1}{3} \right )

Ejemplos:
\dfrac{3x^2 y^3}{5z^4} +\dfrac{6x^3 y^2}{20z^2}-\dfrac{9xy^5}{25 z^3}= \dfrac{3xy^2}{5z^2} \cdot \left ( \dfrac{y}{z^2} +\dfrac{2x^2}{4}-\dfrac{3y^3}{5z} \right )

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