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Archive for the ‘Radicales’ Category

Suma de radicales. Radicales semejantes

Posted by wgs84 en Sábado, 6 noviembre, 2010

Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando:

2 \cdot \sqrt{7}, -3 \cdot \sqrt{7} y 15 \cdot \sqrt{7 }

son semejantes y por lo tanto se pueden sumar:

2 \cdot \sqrt{7} -3 \cdot \sqrt{7} + 15 \cdot \sqrt{7 }=14 \cdot \sqrt{7}

Ejercicio 1:

2 \cdot \sqrt{24} -5 \cdot \sqrt{54} + \sqrt{96}- 4 \cdot \sqrt{6}

Para buscar radicales semejantes descomponemos en factores primos los radicandos y extraemos factores:

2 \cdot \sqrt{2^3 \cdot 3} -5 \cdot \sqrt{3^3 \cdot 2} + \sqrt{2^5 \cdot 3}
2 \cdot \sqrt{2^2 \cdot 2 \cdot 3} -5 \cdot \sqrt{3^2 \cdot 3 \cdot 2} + \sqrt{2^4 \cdot 2 \cdot 3}
2 \cdot 2 \sqrt{\cdot 2 \cdot 3} -5 \cdot 3 \sqrt{ 3 \cdot 2} +2^2 \sqrt{ 2 \cdot 3}
4 \sqrt{2 \cdot 3} -15 \sqrt{ 3 \cdot 2} +4 \sqrt{ 2 \cdot 3}= -7 \sqrt{6}

Ejercicio 2:

\dfrac{1}{3} \sqrt{12} - \dfrac{2}{5} \sqrt{27} + \dfrac{1}{2} \sqrt{75}

\dfrac{1}{3} \sqrt{2^2 \cdot 3} - \dfrac{2}{5} \sqrt{3^3} + \dfrac{1}{2} \sqrt{5^2 \cdot 3}
\dfrac{1}{3} \sqrt{2^2 \cdot 3} - \dfrac{2}{5} \sqrt{3^2 \cdot 3} + \dfrac{1}{2} \sqrt{5^2 \cdot 3}
\dfrac{2}{3} \sqrt{3} - \dfrac{6}{5} \sqrt{3} + \dfrac{5}{2} \sqrt{ 3}= \dfrac{59}{30} \sqrt{3}

Ejercicio 3:

2a \sqrt{3a}- \sqrt{27a^3}+a \sqrt{12a}

2a \sqrt{3a}- \sqrt{3^3 a^3}+a \sqrt{2^2 \cdot 3 a}
2a \sqrt{3a}- \sqrt{3^2 \cdot 3  a^2 a}+a \sqrt{2^2 \cdot 3 a}
2a \sqrt{3a}- 3a \sqrt{3a}+2a \sqrt{3a}= a \sqrt{3a}

Ejercicio 4:

2 \sqrt[3]{16x^5}-x \sqrt[3]{54x^2} + \sqrt[6]{256x^10}
2 \sqrt[3]{2^3 \cdot 2 x^3 x^2}-x \sqrt[3]{3^3 \cdot 2 x^2} + \sqrt[6]{2^6 \cdot 2^2 x^6 x^4}
4x \sqrt[3]{2x^2}-3x \sqrt[3]{2x^2} +2x \sqrt[6]{2^2 x^4}

Simplificando el tercer radical nos queda:

4x \sqrt[3]{2x^2}-3x \sqrt[3]{2x^2} +2x \sqrt[3]{2x^2}= 3x \sqrt[3]{2x^2}

Ejercicio 4:

\sqrt{\dfrac{3}{2}} +\sqrt{\dfrac{2}{3}} -\sqrt{6} +\sqrt{\dfrac{1}{6}}

Para buscar radicales semejantes racionalizamos los denominadores

\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} +\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} -\sqrt{6} + \dfrac{1}{\sqrt{6}}
\dfrac{\sqrt{6}}{2} +\dfrac{\sqrt{6}}{3} -\sqrt{6} + \dfrac{\sqrt{6}}{6}=0.

De donde ha salido esto: \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}

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Racionalización de denominadores

Posted by wgs84 en Sábado, 5 abril, 2008

Racionalizar una expresión fraccionaria es eliminar las expresiones radicales del denominador. Vamos a estudiar 3 casos

  1. Un sólo radical de índice dos en el denominador

    Para eliminarlo multiplicamos numerador y denominador por el radical:
    \dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}
    Multiplicando los radicales de abajo y simplificando:
    \dfrac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{a \sqrt{b}}{b}
    Veamos algunos ejemplos más:

    • \dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}=\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}
    • \dfrac{x^2}{\sqrt{x}}=\dfrac{x^2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}=\dfrac{x^2 \sqrt{x}}{x}= x \sqrt{x}
    • \dfrac{2a}{\sqrt{a^4 b^3}}=\dfrac{2a}{\sqrt{a^4 b^2 b}}=\dfrac{2a}{a^2 b \sqrt{b}}=\dfrac{2 \sqrt{b}}{ab \sqrt{b} \sqrt{b}}=\dfrac{2 \sqrt{b}}{ab^2}. Aquí en primer lugar se han extraido del radical todos los factores posibles y después se ha racionalizado.
  2. Con un radical de índice cualquiera en el denominador

    \dfrac{a}{\sqrt[n]{b^m}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^m} \cdot \sqrt[n]{b^{n-m}}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^m \cdot b^{n-m}}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^{m+n-m}}}=\dfrac{a \sqrt[n]{b^{m-n}}}{\sqrt[n]{b^n}}=\dfrac{a \sqrt[a]{b^{m-n}}}{b}
    Ejemplos:

    • \dfrac{5}{\sqrt[3]{2}}=\dfrac{5 \cdot \sqrt{2^2}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2^2}}=\dfrac{5 \cdot \sqrt[3]{2^2}}{2}
    • \dfrac{ x}{\sqrt[5]{x^7}}=\dfrac{x}{\sqrt[5]{x^5 \cdot x^2}}=\dfrac{x}{ x \cdot \sqrt[5]{x^2}}=\dfrac{\sqrt[5]{x^3}}{\sqrt[5]{x^2} \cdot \sqrt[5]{x^3}}=\dfrac{\sqrt[5]{x^3}}{x}. Primero se extraen todos los factores posibles, se simplifica la fracción si es necesario y por último se racionaliza.
    • \dfrac{3}{\sqrt[4]{x y^3}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{\sqrt[4]{x^3 y} \cdot \sqrt[4]{x y^3}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{\sqrt[4]{x^4 y^4}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{x y}. Fijate que cuando hay varios factores en el radicando se trata cada uno de forma independiente.
    • Ejercicio propuesto: \dfrac{2 a^2}{4 \sqrt[3]{2a b^2 c^6}}
  3. Racionalización de binomios irracionales de índice 2

    binomios irracionales de índice 2: 1-\sqrt{2}, \sqrt{5}+7, \sqrt{7} -\sqrt{5}
    La eliminación de radicales se hace utilizando las propiedades de las expresiones conjugadas. Las expresiones a+b y a-b son expresiones conjugas. Si las multiplicamos se cumple (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Si os fijais, si a o b son radicales de índice 2 los radicales desaparecerán al quedar elevados al cuadrado.

    \dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}
    Multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador:
    \dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right ) \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right ) }=\dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{ \left ( \sqrt{a} \right )^2 -\left ( \sqrt{b} \right )^2}=\dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{a-b}
    Ejemplos:

    • \dfrac{3}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{ (\sqrt {5} )^2-2^2}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{5-4}=3 \cdot ( \sqrt{5}+2)
    • \dfrac{ \sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}=\dfrac{ \sqrt{2} (\sqrt{2}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{5})}=\dfrac {(\sqrt{2})^2-\sqrt{10}}{2-5}=\dfrac {2-\sqrt{10}}{-3}=-\dfrac {2-\sqrt{10}}{3}
    • \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\dfrac{3-2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}+2}{3-2}=5-2 \sqrt{6}
    • \dfrac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3}}= \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{ (\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}
      \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{ (\sqrt{5}+\sqrt{2} )^2-(\sqrt{3})^2}
      \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{5 +2 \sqrt{10} +2-3}=\dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7})}{2 \sqrt{10}+4}

      Y ya estamos en un caso con un binomio

      \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3}) (2 \sqrt{10}-4)}{(2 \sqrt{10}-4)(2 \sqrt{10}+4)}
      \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3}) (2 \sqrt{10}-4)}{40-16}=
      \dfrac{1}{8} (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7}) (2 \sqrt{10}-4)

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Raíz de un radical

Posted by wgs84 en Jueves, 4 octubre, 2007

La raíz de índice m de un radical de índice n es otro radical con el mismo radicando pero cuyo índice es el producto de los índices anteriores:

\sqrt[m]{\sqrt[n]{A}}= \sqrt[m \cdot n]{A}

 

Demostración:

\sqrt[n]{A}=p por definición de radical p^n=A (1)

\sqrt[m]{p}= q por definición de radical q^m=p (2)

Tomamndo potencias de exponente n en ambos miembros de (2):

(q^m)^n=p^n=A(3)

Tomamos en (3) raíces de índice m·n y simplificando:

\sqrt[m \cdot n]{q^{m \cdot m}}=\sqrt[m \cdot n]{A}

q=\sqrt[m \cdot n]{A}

Teniendo en cuenta el valor de q en(2) :

\sqrt[m]{p}=\sqrt[m \cdot n]{A}

Teniendo en cuenta el valor de p en (1):

\sqrt[m]{\sqrt[n]{A}}= \sqrt[m \cdot n]{A}

Ejemplos:

  • \sqrt[3]{\sqrt[4]{x^3}}=\sqrt[12]{x^3}=\sqrt[4]{x}. Simplificando
  • \sqrt{ab^2 \sqrt[3]{ab}}. Introducimos ab^2 en el segundo radical (índice 3) elevando ambos factores al cubo: \sqrt{\sqrt[3]{a^3 b^6  ab}}=\sqrt[6]{a^4 b^7}. Extraemos factores: \sqrt[6]{a^4 b^6 b}=b \cdot \sqrt[6]{a^4 b}
  • \sqrt[3]{ \dfrac{a b^2}{c} \sqrt[4]{\dfrac{c}{a^2 b^3}}}=\sqrt[3]{\sqrt[4]{\dfrac{a^4 b^8}{c^4} \cdot \dfrac{c}{a^2 b^3}}}=\sqrt[12]{\dfrac{a^2 b^5}{c^3}}

 

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Potencia de un radical

Posted by wgs84 en Miércoles, 3 octubre, 2007

Si elevamos un radical a un exponente m obtenemos otro radical con el mísmo índice pero con el radicando elevado a m

\left ( \sqrt[n]{A} \right )^m=\sqrt[n]{A^m}

La demostración es muy sencilla usando el producto de radicales:

\left ( \sqrt[n]{A} \right )^m=\sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{A} \cdot ........\sqrt[n]{A}=\sqrt[n]{A \cdot A \cdot A....\cdot A}=\sqrt[n]{A^m}

Ejemplos:

  • ( \sqrt[3]{2ab^2})^2=\sqrt[3]{2^2 a^2 b^4} Extraemos factores \sqrt[3]{2^2 a^2 b^3 b}=b \sqrt[3]{2^2 a^2 b}
  • (2x^2 y \sqrt{3 xy})^3=2^3 x^6 y^3 \sqrt{3^3 x^3 y^3} Extraemos factores y reducimos 2^3 x^6 y^3 \sqrt{3^2 3 x^2 x y^2 y}= 2^3 3 x^7 y^4 \sqrt{3 x y}
  • \left (\dfrac{3a}{b} \sqrt{\dfrac{b}{9a}} \right )^3=\dfrac{3^3}{b^3} \sqrt{\dfrac{b^3}{3^6 a^3}}=\dfrac{3^3}{b^3}\sqrt{\dfrac{b^2 b}{3^6 a^2 a}}=\dfrac{3^3}{b^3} \dfrac{b}{3^3 a} \sqrt{\dfrac{b}{a}}=\dfrac{1}{b^2 a} \sqrt{\dfrac{b}{a}}

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Extracción e introducción de factores de un radical

Posted by wgs84 en Viernes, 28 septiembre, 2007

Para extraer factores de un radical usaremos la definición de producto en este sentido: \sqrt[n]{A \cdot B}=\sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{B}.Veamos unos cuantos ejemplos

  • \sqrt{5a^2}=\sqrt{5} \cdot \sqrt {a^2}. Simplificando el segundo radical queda:a \cdot \sqrt{5}
  • \sqrt[3]{xy^6}=\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y^6}= y^2 \cdot \sqrt[3]{x}
  • \sqrt{5x^5} .En este ejercicio descompondremos x^5 en dos factores de modo que se pueda extraer alguno de ellos . \sqrt{5 x^4 x}=\sqrt{5x} \cdot \sqrt{x^4}=x^2 \cdot \sqrt{5x}
  • \sqrt[5]{6 x^{10} y^7 z^{23}}=\sqrt[5]{6 x^{10} y^5 y^2 z^{20} z^3}.Extraemos directamente los factores que van a salir (dividimos exponente entre índice): x^2 y z^4 \sqrt[5]{6y^2 z^3}.
  • \sqrt{\dfrac{2^2 a^3 b}{3^3 c^4 d^5}}=\dfrac{\sqrt{2^2 a^3 b}}{\sqrt{3^3 c^4 d^5}}=\dfrac{\sqrt{2^2 a^2 a b}}{\sqrt{3^2 3 c^4 d^4 d}}=\dfrac{2a}{3c^2 d^2} \sqrt{\dfrac{ab}{3d}}

Para introducir factores basta elevarlos al índice del radical e introducirlos dentro. Veamos la justificación de esto:

A \cdot \sqrt[n]{B}=\sqrt[n]{A^n} \cdot \sqrt[n]{B}=\sqrt[n]{A^n \cdot B}

  • x \sqrt{2y}=\sqrt{2yx^2}
  • 2a \sqrt[3]{3a^2b}=\sqrt[3]{(2a)^3 3a^2 b}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3 a^5}
  • \dfrac{3x}{2y} \sqrt{\dfrac{2y}{3x}}=\sqrt{\dfrac{3^2 x^2}{2^2 y^2} \cdot  \dfrac{2y}{3x}}=\sqrt{\dfrac{3x}{2y}}

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Producto y cociente radicales

Posted by wgs84 en Miércoles, 26 septiembre, 2007

El producto de dos radicales homogeneos (con igual índice) es igual a otro radical con el mismo índice y cuyo radicando es igual al producto de los radicandos factores:

\sqrt[n]{A} \cdot\sqrt[n]{B}= \sqrt[n]{A \cdot B}

Demostración :

Si \sqrt[n]{A} =q entonces q^n=A. (1)

Si \sqrt[n]{B} =p entonces p^n=B. (2)
Multiplicando las dos expresiones tenemos que:

q^n \cdot p^n=A \cdot B

 

(q\cdot p)^n=A \cdot B

Tomando raíces de índice n a ambos lados:

\sqrt[n]{ (q\cdot p)^n}=\sqrt[n]{A \cdot B}

 

q\cdot p=\sqrt[n]{A \cdot B}

Teniendo en cuenta (1) y (2) :

\sqrt[n]{A} \cdot\sqrt[n]{B}= \sqrt[n]{A \cdot B} c.q.d

El cociente de dos radicales homogeneos (con igual índice) es igual a otro radical con el mismo índice y cuyo radicando es igual al cociente de los radicandos factores:

\dfrac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}}= \sqrt[n]{\dfrac{A}{ B}}

Demostración :

Si \sqrt[n]{A} =q entonces q^n=A. (1)

Si \sqrt[n]{B} =p entonces p^n=B. (2)
Divdiendo las dos expresiones tenemos que:

\dfrac{q^n}{ p^n}=\dfrac{A}{B}

 

\left ( \dfrac{q}{ p} \right )^n=\dfrac{A}{B}

Tomando raíces de índice n a ambos lados:

\sqrt[n]{ \left ( \dfrac{q}{ p} \right )^n}=\sqrt[n]{\dfrac{A}{B}}

 

\dfrac{q}{ p} =\sqrt[n]{\dfrac{A}{B}}

Teniendo en cuenta (1) y (2) :

\dfrac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}}= \sqrt[n]{\dfrac{A}{ B}} c.q.d

 

Ejemplos :

  • \sqrt[3]{3x^2 y^3}  \cdot \sqrt{xy} \cdot \sqrt[4]{9 x^3 y^2}

1. Primero ponemos los radicales en índice común.También descompondremos en factores primos los coeficientes que aparezcan: 9= 3^2

\sqrt[12]{3^4 x^8 y^{12}} \cdot \sqrt[12]{x^6 y^6} \cdot \sqrt[12]{3^6 x^9 y^6}

2. Realizamos el producto

\sqrt[12]{3^4 x^8 y^{12} x^6 y^6 3^6 x^9 y^6}

3. Agrupamos factores mediante las propiedades de la potencias a^n \cdot a^m = a^{m+n}

\sqrt[12]{3^{10} x^{23} y^{24}}

  • \left ( \sqrt{ \dfrac{a}{2b}} \div \sqrt[3]{ \dfrac{b}{4a^2}} \right ) \cdot \sqrt[4]{\dfrac{2b}{a}}

Sacamos índice común y realizamos el cociente entre paréntesis y luego el producto:

\left ( \sqrt[12]{\dfrac{a^6}{2^6 b^6} \div \dfrac{b^4}{2^8 a^8}} \right ) \cdot \sqrt[12]{\dfrac{2^3 b^3}{a^3}}= \sqrt[12]{\dfrac{2^8 a^{14}}{2^6 b^{10}} \cdot \dfrac{2^3 b^3}{a^3}}=\sqrt[12]{\dfrac{2^5 a^{11}}{b^7}}

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Exponentes fraccionarios

Posted by wgs84 en Lunes, 24 septiembre, 2007

Un radical se puede escribir como una potencia de exponente fraccionario en la que el númerador es el exponente del radicando y el denominador el índice:

\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}

Vamos a demostarlo:

Si \sqrt[n]{a^m}=r. Por definición de radical tenemos que r^n=a^m.

Tomamoso raíces de orden n a cada lado de la igualdad: \sqrt[n]{r^n}=\sqrt[n]{a^m}

Simplificamos ambos radicales dividiendo índice y exponente por n:

\sqrt[\frac{n}{n}]{r^{\frac{n}{n}}}=\sqrt[\frac{n}{n}]{a^{\frac{m}{n}}}

r=\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}

Ejemplos:

Escribe como exponente fraccionario:

  1. \sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}
  2. \sqrt{x^3y^6}=\sqrt{(xy^2)^3}=(xy^2)^{\frac{3}{2}}
  3. \sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y}}=\left ( \dfrac{x^2}{y} \right )^{\frac{1}{2}}

Escribe en forma de radical

  1. \left (x^2y^3 \right )^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{(x^2 y^3)^2}=\sqrt[5]{x^4 y^6}
  2. \left ( \dfrac{x^3}{z^2 y^5} \right )^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\dfrac{x^3}{z^2 y^5}}
  3. (x^4 y^6)^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{4}{2}} y^{\frac{6}{2}}= x^2 y^3

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Transformación de radicales.Teorema fundamental de la radicación

Posted by wgs84 en Domingo, 23 septiembre, 2007

Teorema fundamental de la radicación

Si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente del radicando por el mismo número natural obtenemos un radical equivalente al original:

\sqrt[n]{a^m}=  \sqrt[n \cdot q]{a^{m \cdot q}}

 

\sqrt[n]{a^m}=  \sqrt[\frac{n}{p}]{a^{\frac{n}{p}}}

Vamos a demostrarlo para el caso del producto:

Si \sqrt[n]{a^m}=r. (1)

Por definición de radical tendremos que : r^n=a^m (2)

Elevamos ambas partes de la igualdad al exponente q :

(r^n)^q=(a^m)^q \rightarrow r^{n \cdot q}=a^{m \cdot q} (3)

Tomamos raíces de índice nq en ambos miembros de la igualdad:

\sqrt[ n \cdot q]{ r^{n \cdot q}}=\sqrt[ n \cdot q]{a^{m \cdot q}}(4)

Por definición de radical:

r= \sqrt[ n \cdot q]{a^{m \cdot q}}(5)

Y teniendo en cuenta lo que es r (1):

\sqrt[n]{a^m}=  \sqrt[n \cdot q]{a^{m \cdot q}}

Este teorema nos permite hacer dos cosas:

1. Simplificar radicales

Dividiremos el índice y el exponente del radicando por un mismo número. Si al hacer esto el índice resultante es 1, desparece el signo radical

  1. \sqrt[8]{x^2}=\sqrt[4]{x}
  2. \sqrt{x^6}=x^3
  3. \sqrt[6]{a^3 b^9}=\sqrt[6]{(ab^3)^3}=\sqrt{ab^3}
  4. \sqrt[20]{\dfrac{x^{10}}{y^5}}=\sqrt[20]{\left ( \dfrac{x^2}{y} \right )^5}=\sqrt[4]{\dfrac{x^2}{y}}

2. Reducir radicales a índice común

Lo veremos con un ejemplo: \sqrt{x}; \sqrt[3]{y^2}; \sqrt[4]{x^2 y^3}

El índice común será en m.c.m de los índices: m.c.m(2,3,4)=12.

Luego elevaremos los exponentes de cada radicando al resultado de dividir el índice común por cada uno de lo índices originales.

\dfrac{12}{2}=6; \dfrac{12}{3}=4; \dfrac{12}{4}=3

\sqrt[12] {x^6}; \sqrt[12]{(y^2)^4}; \sqrt[12]{(x^2 y^3)^3}

 

\sqrt[12] {x^6}; \sqrt[12]{y^8}; \sqrt[12]{x^6 y^9}

 

Ejercicio propuesto: \sqrt[6]{\dfrac{a^2 b^3 }{c^4}}; \sqrt[10]{\dfrac{a^3 c^7}{b^6}}

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Definición de radical

Posted by wgs84 en Domingo, 23 septiembre, 2007

La radicación es la operación inversa a la potenciación y se define así:

\sqrt[n]{a} =b \leftrightarrow b^n=a

Es decir \sqrt[3]{8}=2 porque 2^3=8

La raíz n-ésima de un número “a” es otro número “b” si y sólo s b elevado a n es igual a “a”

Partes de un radical: \sqrt[n]{a}=b

  • \sqrt{} es el signo radical
  • n es el índice
  • a es el radicando
  • b es la raíz o solución de radical

La raíz de un radical es el número que hay que elevar al índice para obtener el radicando

Signo y número de soluciones de un radical en el conjunto R

  • Si el radical es de índice par y el radicando es negativo no existe solución. La \sqrt{-4} será igual a un número x que desconocemos. Por definición de radical tendremos que x^2=-4 y esto es imposible en el conjunto de los números reales (cualquier número al cuadrado es positivo).
  • Si el radical es de índice par y radicando positivo tiene dos raíces opuestas(iguales pero de distinto signo).\sqrt{4}= \pm 2 porque 2^2=4 y (-2)^2=4
  • Si el radical tiene índice negativo tiene una única solución con el mismo signo que el radicando. \sqrt[3]{27}=3 porque 3^3=27 . \sqrt[3]{-27}=-3 porque (-3)^3= -27

Ejercicios: trabajaremos con la descomposicón en factores primos de los radicandos

  1. \sqrt{169}=\sqrt{ 13^2}=\pm 13
  2. \sqrt{256}=\sqrt{2^8}=\sqrt{(2^4)^2}=\pm 2^4=\pm 16
  3. \sqrt[5]{32}=\sqrt[5]{2^5}=2
  4. \sqrt[7]{-128}=\sqrt[7]{-2^7}= -2
  5. \sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}=\sqrt[3]{(2 \cdot 3)^3}=2 \cdot 3=6
  6. \sqrt[4]{\dfrac{81}{256}}=\sqrt[4]{\dfrac{3^4}{2^8}}=\sqrt[4]{\left ( \dfrac{3}{2^2} \right )^4}=\pm \dfrac{3}{4}
  7. \sqrt[3]{-0.125}=\sqrt[3]{-\dfrac{125}{1000}}=\sqrt[3]{-\dfrac{5^3}{10^3}}=-\dfrac{1}{2}

Cuando trabajemos con radicales algebraicos no tendremos en cuenta el doble signo de los radicales de índice par

  1. \sqrt{x^{10}}=\sqrt{(x^5)^2}=x^5
  2. \sqrt[3]{a^6 \cdot b^{15}}= \sqrt[3]{( a^2 \cdot b^5)^3}=a^2 b^5
  3. \sqrt[4]{\dfrac{x^8y^{12}}{z^4}}=\sqrt[4]{\left ( \dfrac{x^2 y^3}{z} \right )^4}=\dfrac{x^2 y^3}{z}

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