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Archive for the ‘Exponenciales y logaritmos’ Category

Resolución de ecuaciones y sistemas exponenciales .Definición de logartimo. Demostración de las propiedades de los logartimos. Ecuaciones y sistemas logarítmicos.

Ecuaciones logarítmicas

Posted by wgs84 en Sábado, 22 noviembre, 2008

Para resolver ecuaciones logarítmicas hay que transformarlas en ecuaciones algebraicas:

Veamoslo con un ejemplo: \log_7 (x-2) -\log_7 (x+2)= 1-\log_7 (2x-7)

  1. Transformamos los números en logaritmos usando \log_a a^n= n
    \log_7 (x-2) -\log_7 (x+2)= \log_7 7-\log_7 (2x-7)
  2. Aplicamos las propiedades de los logaritmos para dejar un único logaritmo en cada miembro de la ecuación
    \log_7 \dfrac{x-2}{x+2}=\log_7 \dfrac{7}{2x-7}
  3. Quitamos los logaritmos y resolvemos la ecuación algebraica resultante
    \dfrac{x-2}{x+2}=\dfrac{7}{2x-7}
    (x-2)(2x-7)=7(x+2)
    2x^2-7x-4x+14= 7x +14
    2x^2-18x=0
    Las soluciones son x= 9 y x= 0
  4. Comprobamos las soluciones (ver que no se obtienen logaritmos de número negativos o el logaritmo de 0 al sustiruir las soluciones en la ecuación original)
    x= 9 es solución y x= 0no lo es porque aparecería \log_7 (-2)

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Otras aplicaciones de las propiedades de los logaritmos

Posted by wgs84 en Martes, 18 noviembre, 2008

Sabiendo que \log 2= 0.3010 calcula

  1. \log 20
    Buscamos potencias de 2 (que es el dato) y de 10 (que es la base)
    \log 20= \log \left ( 2 \cdot 10 \right )= \log 2 +\log 10= 0.3010+1= 1.3010
  2. \log 400 = \log ( 4 \cdot 100)= \log 2^2 + \log 10^2= 2 \cdot \log 2 +2= 2\cdot 0.3010 +2=2.602
  3. \log 5 = \log \dfrac{10}{2}= \log 10 -\log 2= 1-0.3010= 0.699
  4. \log 0.0008= \log \dfrac{8}{10000}= \log 2^3 -\log 10^4= 3 \cdot 0.3010 - 4= -3.097
  5. \log 25 = \log \dfrac{100}{4}= \log 10^2 -\log 2^2= 2-2 \cdot 0.3010=1.398

Cacula \log_5 625 + \log_5 \dfrac{1}{25} - \log _5 125

\log_5 5^4 +\log_5 5^{-2} - \log_5 5^3= 4-2-3=-1

Resuelve 4^x -9 \cdot 2^x= -20

Es una ecuación con suma de exponenciales y la resolveremos mediante un cambio de variable:
(2^2)^x - 9 \cdot 2^x=-20
(2^x)^2 - 9 \cdot 2^x=-20. el cambio de varible va a ser 2^x= t
t^2 -9t+20=0
Las soluciones de la ecuación de segundo grado son t= 4 y t= 5
Deshacemos el cambio de variable:
2^x= 4= 2^2 entonces, x= 2
2^x=5. En este caso no podemos aplicar la igualación de base y lo que hacemos es tomar logaritmos en base 2 a ambos lados del igual:
\log_2 2^x= \log_2 5 y x= \log_2 5

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Desarrollos logarítmicos

Posted by wgs84 en Lunes, 17 noviembre, 2008

  1. \dfrac{a^3 \cdot b^5}{c^2}
    Tomamos logaritmos y aplicamos la propiedad del cociente
    \log \left ( a^3 \cdot b^5 \right ) -\log c^2
    Aplicamos la propiedad del producto
    \log a^3 +\log b^5 -\log c^2
    Aplicamos la propiedad de la potencia
    3 \cdot \log a +5 \cdot \log b -2 \cdot \log c
  2. y= \dfrac{\sqrt[3]{x^2} \cdot t^4}{x^3 \cdot z^4}
    Tomamos logaritmos en ambas partes del igual
    \log y =\log \dfrac{\sqrt[3]{x^2} \cdot t^4}{x^3 \cdot z^4}
    Aplicando la propiedad del cociente
    \log y =\log \left ( \sqrt[3]{x^2} \cdot t^4 \right )- \log \left ( x^3 \cdot z^4 \right )
    Aplicando la propiedad del producto
    \log y =\log x^{\frac{2}{3}} + \log t^4 - \left (\log x^3 +\log z^4 \right )
    Quitando parentesis y aplicando las propiedades de la potencia y de la raiz
    \log y =\dfrac{2}{3} \cdot \log x +4 \cdot  \log t -3 \cdot \log x -4\cdot \log z

  3. y= \dfrac{x^2 \cdot \sqrt[4]{t^3 z^2}}{\sqrt[3]{x} \cdot z^3}
    Tomando logartimos y aplicando las propiedades correspondientes
    \log y = 2\cdot \log x +\dfrac{3}{4} \cdot \log t +\dfrac{1}{2} \cdot \log z- \dfrac{1}{3} \cdot \log x -3 \cdot \log z
    Reduciendo nos queda
    \log y = \dfrac{5}{3} \cdot \log x +\dfrac{3}{4} \cdot \log t -\dfrac{5}{2} \cdot \log z
  4. \log \left (\sqrt[5]{x^2 y^3} \cdot \sqrt[3]{z^5 m^6} \right )
    Aplicamos la propiedad del producto
    \log \sqrt[5]{x^2 y^3} +\log \sqrt[3]{z^5 m^6}
    Aplicamos la propiedad de la raiz
    \dfrac{1}{5} \cdot \log \left ( x^2 y^3 \right ) +\dfrac{1}{3} \cdot \log \left ( z^5 m^6 \right )
    Volvemos a aplicar la propiedad del producto y la de la potencia
    \dfrac{2}{5} \cdot \log x +\dfrac{3}{5} \log y +\dfrac{5}{3} \cdot \log z+2 \cdot \log m

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Propiedades de los logaritmos

Posted by wgs84 en Domingo, 16 noviembre, 2008

  1. El logaritmo del producto de dos números es igual a la suma de los logartimos de cada uno de los factores

    Vamos a demostrar que \log_a \enspace \left ( x \cdot y \right ) =\log_a \enspace x + \log_a \enspace y.

    Si \log_a \enspace x= t. Por definición de logaritmo a^t=x (1)
    Si \log_a \enspace y= z. Por definición de logaritmo a^z=y. (2)
    Multiplicando estas dos igualdades tenemos que :a^t \cdot a^z =x \cdot y = a^{t+z}
    Tomando logaritmos en base a a ambos lados:
    \log_a \enspace a^{t+z} =\log_a \enspace x \cdot y
    Por definición de logaritmo. \log_a \enspace a^{t+z}= t+z= \log_a \enspace x \cdot y
    Y teniendo en cuenta (1) y (2):
    \log_a \enspace \left ( x \cdot y \right ) =\log_a \enspace x + \log_a \enspace y.

  2. El logaritmo del cociente de dos números es igual a la resta de los logartimos de cada uno de los números

    Vamos a demostrar que \log_a \enspace \left ( \dfrac{x}{y} \right ) =\log_a \enspace x - \log_a \enspace y.

    Si \log_a \enspace x= t. Por definición de logaritmo a^t=x (3)
    Si \log_a \enspace y= z. Por definición de logaritmo a^z=y. (4)
    Dividiendo estas dos igualdades tenemos que :\dfrac{a^t}{a^z} =\dfrac{x}{y} = a^{t-z}
    Tomando logaritmos en base a a ambos lados:
    \log_a \enspace a^{t-z} =\log_a \enspace \dfrac{x}{y}
    Por definición de logaritmo. \log_a \enspace a^{t-z}= t-z= \log_a \enspace \dfrac{x}{y}
    Y teniendo en cuenta (3) y (4):
    \log_a \enspace \left ( \dfrac{x}{y} \right ) =\log_a \enspace x - \log_a \enspace y.

  3. El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base

    Vamos a demostrar que \log_a x^n= n \cdot \log_a x
    Es sencillo demostralo usando la primera propiedad.
    \log_a x^n=\log_a \enspace \left (x \cdot x\cdot x........x \right ) n veces
    Aplicando la primera propiedad esto es igual a:
    \log_a x  + \log_a x + \log_a x+ ........+\log_a x n veces
    n \cdot \log_a x

  4. El logaritmo de un radical es igual al cociente en tre el logaritmo del radicando y el índice

    Vamos a demostrar que \log_a \enspace \sqrt[n]{x}= \dfrac{1}{n} \cdot \log_a x
    Es sencillo utilizando la propiedad de la potencia (3).
    Usando el radical como un exponente fraccionario y aplicando la propiedad (3) tenemos que:
    \log_a \enspace \sqrt[n]{x}=\log_a \enspace x^{\frac{1}{n}}= \dfrac{1}{n} \cdot \log_a x

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Definición de logaritmo

Posted by wgs84 en Sábado, 15 noviembre, 2008

El logaritmo es la operación inversa de la exponencial

\log_a \enspace x =y \Leftrightarrow a^y = x

Partes del logarimto \log_a \enspace x = y

  • a es la base (a>0 ; a \neq 1)
  • x es el argumento del logaritmo
  • y es el logaritmo

El logaritmo de un número es el número (y) al que hay elevar la base (a) para obtener el argumento x

Ejemplos:

  1. \log_2 \enspace 4=x Aplicando la definición 2^x= 4= 2^2 y entonces x= 2
  2. \log_3 \enspace 81=x. Aplicando la definición 3^x=81=3^4 y entonces x=4
  3. \log_2 \enspace \dfrac{1}{32}=x.Aplicando la definición 2^x=\dfrac{1}{32}=\dfrac{1}{2^5}=2^{-5} y entonces x= -5
  4. \log_{\dfrac{1}{3}} \enspace 27=x .Aplicando la definición \left ( \dfrac{1}{3} \right )^x= 27 ; 3^{-x}=3^3 y entonces x= -3
  5. \log_2 \enspace \sqrt{8}=x .Aplicando la deficnición 2^x= \sqrt{8}=\sqrt{2^3}= 2^{\frac{3}{2}}. Entonces x=\dfrac{3}{2}
  6. \log_{\sqrt{3}} \enspace =\dfrac{1}{9}.Aplicando la deficnicón \left ( 3^{\frac{1}{2}} \right )^x= 3^{-2}; 3^{\frac{x}{2}}=3^{-2}. Entonces \dfrac{x}{2}= -2 y x= -4
  7. \log_a \enspace 4= 2. Aplicando la definición a^2=4. Entonces a=\sqrt{4}=2. Se desprecia la solución negativa porque la base de un logaritmo es siempre positiva.

Ejercicios propuestos

  • \log_{\dfrac{1}{10}} \enspace 100000 = x
  • \log_{\dfrac{1}{6}} \enspace 36=x
  • \log_{49} \enspace \sqrt{7}=x
  • \log_{\sqrt{5}} \enspace \dfrac{1}{125}=x
  • \log_a \enspace 1= x

Convenios

En España si no se indica la base del logarimo estamos hablando de logaritmos decimales (base 10): \log_{10} x=\log x
El logaritmo neperiano o natural es el logaritmos en base e: \log_e x = \ln x

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Ecuaciones exponenciales. Cambio de variable

Posted by wgs84 en Lunes, 10 noviembre, 2008

Este método se utiliza para resolver ecuaciones en las que aparecen sumas y/o restas de exponenciales.

Preliminares

Hay que recordar las propiedades de las potencias:

  • a^{m+n}=a^m \cdot  a^n. Por ejemplo 3^{x+3}= 3^3 \cdot 3^x
  • a^{m-n}=\dfrac{a^m}{a^n}. Por ejemplo 2^{x-5}= \dfrac{2^x}{2^5}, 3^{1-x}=\dfrac{3}{3^x}
  • {(a^m)}^n= a^{m \cdot n}. Por ejemplo 4^x= {2^2}^x= {(2^x)}^2

Ejemplos de ecuaciones

  1. 2^{x+1}-5 \cdot 2^x+3=0
    El cambio de varible es 2^x=t. Procedemos a aislar dicha exponencial
    2^x \cdot 2-5 \cdot 2^x +3=
    2t-5t+3=0
    t=1
    Deshacemos el cambio de variable
    2^x=1 por lo que x=0
  2. 9^x-90 \cdot 3^x+729=0
    El cambio de variable es 3^x=t
    {3^2}^x-90 \cdot 3^x+729=0
    {3^x}^2-90 \cdot 3^x+729=0
    t^2-90t+729=0
    resolvemos la ecuación de 2º grado y tenemos que t= 81 y t=9
    Deshacemos el cambio de varible
    3^x=81=3^4; x= 4
    3^x= 9=3^2; x= 2
  3. 2^x+2^{x+1}+2^{x-2}+2^{x-3}=864
    El cambio de variable es 2^x= t
    2^x +2 \cdot 2^x+\dfrac{2^x }{2^2}+\dfrac{2^x}{2^3}=864
    t + 2t+\dfrac{t}{4}+\dfrac{t}{8}=864
    8t+16t+2t+t= 864 \cdot 8
    27t= 2^5 \cdot 3^3 \cdot 2^3
    t=2^8
    Deshacemos el cambio de variable 2^x= 2^8; x= 8
  4. 3^x+3^{1-x}=4
    El cambio de variable es 3^x=t
    3^x+ \dfrac{3}{3^x}=4
    t+ \dfrac{3}{t}=4
    t^2+3=4t; t^2-4t+3=0
    Reslviendo la ecución de 2º grado:
    t= 3 y t= 1
    Deshacemos el cambio de variable
    3^x=3; x= 1
    3^x= 1; x= 0

Ejercicios propuestos

  • 2^x-5\cdot 2^{-x}+4\cdot 2^{-3x} sol: 0; 1
  • 2^{2x}+2^{2x-1}+2^{2x-2}+2^{2x-3}+2^{2x-4}=1984 sol: 5
  • 4^{x+1}+2^{x+3}-320=0 sol: 3
  • 3^x+ \dfrac{1}{3^{x-1}}=4 sol=0; 1

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Ecuaciones exponenciales. Igualación de base

Posted by wgs84 en Martes, 4 noviembre, 2008

La función exponencial es:

f(x)=a^x

donde aes un número positivo distinto de uno. Como consecuencia de esto, la función exponencial es “simpre positiva”. a^x  > 0 \forall x \in R

Una  ecuación exponencial, por lo tanto, es aquella en la que la incógnita está en el exponente.

El método que vamos a ver en esta entrada es el de igualación de base. Se trata de conseguir la misma base a ambos lados del igual. Una vez conseguido esto, se igualan los exponentes dando lugar a una ecuación algebraica.

  1. 2^{x-3}= 128.
    Descomponemos en factores primos 128 y la ecuación nos queda 2^{x-3}=2^7 Ya tenemos las bases iguales.
    Igualando los exponenes nos queda la ecuación algebraica x-3=2 y por lo tanto x= 5
  2. 5^{\frac{x+2}{3}}= \frac{1}{125}.
    Hay que tenr en cuenta que: \dfrac{1}{a^n}=a^{-n}
    La base a conseguir a ambos lados del igual será 5.5^{\frac{x+2}{3}}= \dfrac{1}{5^3}=5^{-3}.
    Igualando exponentes nos queda: \dfrac{x+2}{3}=-3 x= -11
  3. 9^{x-2}=\sqrt{3^x}
    Hay que tener en cuenta que \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}
    {3^2}^{(x-2)}= 3^{\frac{x}{2}}
    3^{2x-4}= 3^{\frac{x}{2}}
    2x-4=\frac{x}{2}
    x= \dfrac{8}{3}
  4. 7^{x^2-5x+6}=1

    Como cualquier número elevado a cero es igual a 1 podemos escribir 7^{x^2-5x+6}=7^0
    La ecuación algebraica es x^2-5x+6=0 cuyas soluciones son x= 2, x= 3

Ejercicios propuestos:

  • 3^{5x-3}= \left ( \dfrac{1}{27} \right )^{2x+5}
    Solución
    3^{5x-3}= {3^{-3}}^{(2x+5)}
    5x-3=-6x-15
    11x=-12
    x=-\dfrac{12}{11}
  • \left ( \dfrac{1}{16} \right )^{3-x}= \sqrt[5]{8^{x-3}}
    Solución
    {2^{-4}}^{(3-x)}={2^3}^{\frac{x-3}{5}}
    -12+4x=\dfrac{3x-9}{5}
    -60+20x= 3x-9
    {17x= 51}
    x= 3
  • \sqrt[x+15]{2^{x-5}}= \dfrac{1}{4} \sqrt[x-5]{8^{x+5}} “NUEVO”
  • \left ( \dfrac{2}{3} \right )^{3x-1}=\left ( \dfrac{9}{4} \right )^{2x-3} “NUEVO”

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