El blog de Ed

Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Archive for the ‘Circunferencia’ Category

Problemas sobre la ecuación de la circunferencia

Circunferencia y rectas tangentes

Posted by wgs84 en Sábado, 22 agosto, 2009

1) Hallar la ecuación de la circuferencia que pasa por (3,6) y es tangente a a x+y-11=0 y a x-7y+57=0

Sea (a,b) el centro de la circunferencia.

  1. Pasa por ( 3,6), luego el radio será \sqrt{(3-a)^2+(6-b)^2}
  2. Es tangente a x+y-11=0, luego el radio será la distancia del centro a esa recta \dfrac{|a+b-11|}{\sqrt{2}}
  3. Es tangente a -7y+57=0, luego el radio será la distancia del centro a esa recta \dfrac{|a-7b+57|}{\sqrt{50}}

De estas tres ecuaciones formaremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas igualando la 1ª con la 2ª y la 2ª con la 3ª. Elevaremos al cuadrado para eliminar los radicales

  • \dfrac{(a+b-11)^2}{2}=9-6a+a^2+36-12b+b^2. Desarrollando nos queda:
    -b^2+2ab+2b-a^2-10a+31= 0
  • \dfrac{(a-7b+57)^2}{50}=9-6a+a^2+36-12b+b^2.Desarrollando nos queda:-b^2-14ab-198b-49a^2+414a+999=0

Para resolver el sistema no lineal resultante restamos las dos ecuaciones para eliminar el término en b^2
16ab+200b+48a^2-424a-968=0. Simplificando (dividir a ambos lados por ocho ) nos queda:2ab+25b+6a^2-53a-121=0.
De aquí podemos despejar b en función de a y resolver el sistema por sustitución:
b= \dfrac{-6a^2+53a+121}{2a+25}.

Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones originales se obtienen los siguientes resultados
a=-4,b=-11 y a=2, b=7

Para obtener las ecuaciones de las circunferencias nos falta el radio que lo calcularemos sustituyendo en cualquiera de las tres expresiones a partir de las cuales hemos montado el sistema. Por ejemplo r= \sqrt{(3-a)^2+(6-b)^2}

Si a=-4,b=-11 entonces r=\sqrt{338} y la ecuación será (x+4)^2+(y+11)^2= 338

Si a=2, b=7 entonces r= \sqrt {2} y la circunferencia será (x-2)^2+(y-7)^2=2

2) Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 2 tangente a 5x-12y+6=0 y a 3x-4y +2=0

Sea (a,b) el centro de la circunferencia. De las dos condicones de tangencia obtendremos 2 ecuaciones

  1. Si la circunferencia es tángente a 5x-12y+6=0 entonces: \dfrac{|5a-12b+6|}{13}=2
  2. Si la circunferencia es tángente a 3x-4y+2=0 entonces: \dfrac{|3a-4b+2|}{5}=2

De cada ecuación con valor absoluto obtenemos dos ecuaciones:

  1. 5a-12b+6=26
  2. 5a-12b+6=-26
  3. 3a-4b+2=10
  4. 3a-4b+2=-10

Las coordenadas (a,b) las obtendremos combinando las distintas ecuaciones

  • Combinando la 1 y la 3 obtenemos a=1,b=-\dfrac{5}{4} y la circunferencia será: (x-1)^2+\left ( y+\dfrac{5}{4} \right )^2=4
  • Combinando la 1 y la 4 obtenemos a=-14, b=-\dfrac{15}{2} y la circunferencia será: (x+14)^2+\left ( y +\dfrac{15}{2} \right )^2= 4
  • Combinando la 2 y la 3 obtenemos a=14, b=\dfrac{17}{2} y la circunferencia será : (x-14)^2+\left ( y-\dfrac{17}{2} \right )^2= 4
  • Combinando la 2 y la 4 obtenemos a=-1, b=\dfrac{9}{4} y la circunferencia será: (x+1)^2+ \left ( y -\dfrac{9}{4} \right )^2=4

Posted in Circunferencia, Geometría analítica, Matemáticas | 3 Comments »

Triángulo equilátero y circunferencias

Posted by wgs84 en Martes, 20 enero, 2009

Si dos vertices de un triangulo equilatero son (-4,3) y (0,0) encontrar el tercer vertice

La distancia entre los dos puntos es el radio de las circunferecias que vamos a utilizar \sqrt{(-4)^2+3^2}=5 y que es la longitud del lado del triángulo equilatero

Circunferencia de radio 5 y centro (-4, 3) (x+4)^2+(y-3)^2=25
Circunferencia de centro (0,0) y radio 5 x^2+y^2=25

La solución del sitema de ecuaciones formado por las dos circunferencias serán los vértices buscados, que serań dos puntos simétricos al segmento (-4, 3) (0,0).
\left. \begin{array}{rcl}  y^2-6y+x^2+8x=0   \\ x^2+y^2=25 \end{array} \right\}
Para resolverlo primero restamos las dos ecuaciones para conseguir una ecuación lineal: -6y+8x+25=0
Ahora resolvemos por sustitución el sistema compuesto por la ecuación lineal obtenida y una de las circunferencias
\left. \begin{array}{rcl}  -6y+8x+25=0   \\ x^2+y^2=25 \end{array} \right\}
Las soluciones son los puntos:

\left ( \dfrac{-3 \sqrt{3}-4}{2}, \dfrac{-4 \sqrt{3}+3}{2} \right )
\left ( \dfrac{3 \sqrt{3}-4}{2}, \dfrac{4 \sqrt{3}+3}{2} \right )

\left [x=-4.598076211353316,y=-1.964101615137754 \right ]
\left [x=0.59807621135332,y=4.964101615137754 \right ]

Posted in Circunferencia, Geometría analítica, Matemáticas | Leave a Comment »

Circunferencias tangentes II

Posted by wgs84 en Jueves, 8 mayo, 2008

Hallar la ecuacion de la circunferencia que tiene su centro sobre el eje x y pasa por las intersecciones de las circunferencias C1: x^2+y^2-8x-6y+17=0 y C2: x^2+y^2-18x-4y+67=0

Calculamos la intersección de las dos circunferencias. Las restamos para obtener una ecuación lineal.
x^2+y^2-8x-6y+17 -x^2-y^2+18x+4y-67=0
10x-2y-50=0 \rightarrow 5x-y-25=0 \rightarrow 5x-25=y

Sustituimos en la ecuación de alguna de las circunferencias, por ejemplo la primera:
x^2+(5x-25)^2-8x-6(5x-25)+17=0
Desarrollamos y agrupamos 26x^2-288x+792=0 \rightarrow 13x^2-144x+396=0
Las soluciones son \left ( \dfrac{66}{13}, \dfrac{5}{13} \right ) y (6, 5). Que son dos puntos de la circunferencia incógnita.

Si el centro está sobre el eje X tiene la forma (x, 0) y la distancia a los dos punto de paso será igual (el radio).
\left (x- \dfrac{66}{13} \right )^2+ \dfrac{25}{169}=(x-6)^2+25
La resolvemos y el centro es (19, 0).

Obtenemos el radio calculando la distancia a uno de los puntos de corte de C1 y C2

r^2= (19-6)^2+(5-0)^2= 194
La circunferencia que nos piden es (x-19)^2+y^2=194

Posted in Circunferencia, Geometría analítica, Matemáticas | Leave a Comment »

Problemas sobre la determinación de la ecuación de una circunferencia

Posted by wgs84 en Sábado, 3 mayo, 2008

Calcular la ecuacion de la circunferencia que pasa por los puntos (2,4)(6,7) y su centro pasa por la recta 2x+y=7

Si el centro pertenece a la recta 2x+y=7 sus coordenadas las podremos escribir así: (x, 7-2x)

La distancia del centro a los dos puntos perimetrales (2, 4) y (6, 7) será la misma, el radio de la circunferencia.

\sqrt{(x-2)^2+(7-2x-4)^2}= \sqrt{(x-6)^2+(7-2x-7)^2}
Resolviendo está ecuación obtenemos la coordenada x del centro x= -\dfrac{23}{4}

Sustituyendo en la ecuación 2x+y= 7 obtendremos la coordenada y. y= \dfrac{37}{2}

Con el centro y una de los puntos perimetrales calculamos el radio r=\sqrt{(2+\dfrac{23}{4})^2+(4-\dfrac{37}{2})^2}= \dfrac{5 \sqrt{173}}{4}

Con estos datos la ecuación de la circunferencia será:
(x-2)^2+(y-4)^2= \dfrac{4325}{16}

Posted in Circunferencia, Geometría analítica, Matemáticas | Leave a Comment »

Circunferencias tangentes

Posted by wgs84 en Jueves, 1 mayo, 2008

  1. Demostrar que las circunferencias C1:x^2+y^2-3x-6y+10=0 y C2: x^2+y^2-5=0 son tangentes.
  2. Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto común y cuyo centro esta sobre la recta 3x+y+5=0.
  3. Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto común y cuyo radio es 20
  4. Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto común tangente a la recta x-2y-1=0

Para analizar la posición relativa de dos circunferencias hay que resolver el sistema no lineal que forman. Si el sistema tiene dos soluciones las circunferencias son secantes, si sólo existe una solución serán tangentes y , por último si el sistema no tiene solución las circunferencias son exteriores

Para resolver el sistema restamos las ecuaciones de las circunferencias para obtener una ecuación lineal para poder aplicar el método de sustitución

x^2+y^2-3x-6y+10- (x^2-y^2-5)=0
-3x-6y+15=0 simplificando x+2y-5=0 \rightarrow x=5-2y
Ahora resolvemos por sustitución el sistema:
\left. \begin{array}{rcl}     x=5-2y   \\ x^2+y^2+5=0 \end{array} \right\}
(5-2y)^2+y^2-5=0
25-20y+4y^2+y^2-5=0
5y^2-20y^2+20=0 \rightarrow y^2-4y+4=0 \rightarrow (y-2)^2=0
Cuya única solución es y= 2 .
El valor de x será x= 5-4=1. El punto de tangencia es (1, 2).

(2)La circunferencia que buscamos en el apartado 2 del problema tendrá el siguiente aspecto:
x^2+y^2+Cx+Dy+E=0. Tenemos tres incógnitas
Si (a, b) son las coordenadas del centro se cumple que a= - \dfrac{C}{2} y b=-\dfrac{D}{2}.
Si el centro está en la recta 3x+y+5=0 \rightarrow y= -5-3x El centro (a, b) cumple dicha ecuación y tenemos que:
-\dfrac{D}{2}=-5-3 \cdot \left ( -\dfrac{C}{2} \right )
de donde obtenemos nuestra primera ecuación: D= 10-3C

La segunda ecuación la obtenemos del hecho que el punto (1,2) pertenece a nuestra circunferencia. Sustituimos los valores en la ecuación y: C+2D+E=-5.

La tercera ecuación es más compleja de obtener.
Si las tres circunferencias tienen el mismo punto de tangencia compraten la misma recta tangente.
Utilizando la circunferencia C2 vamos a calcularla.
El punto es (1,2) y la pendiente la obtenemos derivando x^2+y^2-5=0
2x+2yy'=0. Despejamos la derivada y nos queda y'=\dfrac{-x}{y}. Sustituimos para el punto (1,2) y obtenemos una pendiente de -\dfrac{1}{2}.
La ecuacíon de la recta tangente (usando la forma punto pendiente) será: y-2=-\dfrac{1}{2}(x-1). Si despejamos la x: x= 5-2y.

La intersección de esta recta con nuestra circunferencia objetivo x^2+y^2+Cx+Dy+E=0 tendrá como solución un único punto. Como al resolver el sistema obtendremos una ecuación de segundo grado (sustituimos x=5-2y, en la ecuación cuadrática)le impondremos a esa ecuación la condición de que tenga una única solución (solución doble dice la teroía).
Para que una ecuación de segundo grado ax^2+bx+c=0 tenga una solución doble se ha de cumplir que b^2-4ac=0. Procedamos:

Sustituyo x= 5-2y en x^2+y^2+Cx+Dy+E=0:
(5-2y)^2+y^2+C(5-2y)+Dy+E=0
Desarrollo: 25-20y+4y^2+y^2+5C-2Cy+Dy+E=0
Agrupo y formo la ecuación de 2º grado: 5y^2 +(D-2C-20)y+E+5C+25=0
Imponemos la condión de solución doble y tenemos la tercera ecuación:
(D-2C-20)^2-20(E+5C+25)=0

Resolvemos el sistema no lineal de tres ecuaciones por sustitución.
.
Sustituimos la primera D=10-3C en la segunda y obtenemos:
E= 5C-25
Luego sustituimos las dos en la tercera:
(10-3C-2C-20)^2-20(5C-25+5C+25)=0
(-5C-10)^2-200C=0
(C+2)^2-8C=0
C^2-4C+4=0 \rightarrow (C-2)^2=0
C=2 y luego D=4 y E= -15
la circunferencia buscada es: x^2+y^2+2x+4y-15=0
(3) Para resolver el apartado 3 nos sirve la ecuación que deriva del hecho de que la circunferencia que buscamos x^2+y^2+Cx+Dy+E=0 pasa por el punto (1,2):
C+2D+E=-5

Si el radio es 20, y sabiendo que el coeficiente el término independiente de la circunferencia es E=a^2+b^2-r^2, con (a, b) las coordenadas del centro y r el radio. tendremos que nuestra segunda ecuación será:
E=\dfrac{C}{4}+\dfrac{D}{4}-400

La misma ecuación se puede obtener diciendo que la distancia entre el centro y el punto (1,2) es igual al radio.

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda y desarrolando obtenemos la ecuación:
(*) C^2+D^2+4C+8D-1580=0
Para la tercera ecuación volveremos a utiloizar la condición que la circunferencia incógnita es tangenta a las circunferencias C1 y C2. La ecuación resultante de esto ya lo calculamos en el apartado 2 y es:
(D-2C-20)^2-20(E+5C+25)=0

Sustituimos la primera ecuación: (D-2C-20)^2-20(-C-2D-5+5C+25)=0
Desarrollamos: 4C^2-4CD+D^2=0
Como es un cuadradp perfecto: (2C-D)^2=0
2C-D=0
(**) D=2C.

Sustituimos esta expresión en (*)C^2+D^2+4C+8D-1580=0,agrupamos términos, simpliifcamos y obtenemos la ecuación :
C^2+4C-316=0
cuyas soluciones son:
C=-8 \sqrt{5}-2 y C=8 \sqrt{5}-2. Dos soluciones para C significa que habrá dos circunferencias que cumplan las condiciones establecidas.
Los valores de D serán (**)
D=-16 \sqrt{5}-4 y D=16 \sqrt{5}-4
Los valores de E: =-5-2D-C
E=5+40 \sqrt{5} y E=5- 40 \sqrt{5}

(4)Veamos el apartado cuatro:
La recta x=2y-1 es tangente a la circunferencia incógnita x^2+y^2+Cx+Dy+E=0.
Sustituimos la ecuación lineal en la circunferencia e impondremos la condión de solución doble a la ecuación de segundo grado resultante:
(2y+1)^2+y^2+C(2y+1)+Dy+E=0
5y^2+y(4+2C+D)+1+C+E=0
Imponemos la condicón b^2-40c=0:
(4+2c+d)^2-20(1+C+E)
-20E+D^2+4CD+8D+4C^2-4C-4 Primera ecuación
Las otras ecuaciones son de apartados anteriores:
La circunferencia pasa por (1,2): E=-2-C-2D
la circunferencia es tangente en (1,2) a las otras dos:
(D-2C-20)^2-20(E+5C+25)=-20E+D^2-4CD-40D+4C^2-20C-100

Sustiuimos la segunda ecuación(lineal) en la otras dos (cuadráticas): y obtenemos:
D^2+4CD+48D+4C^2+16C+96=0 (*)
D^2-4CD+4C^2=(D-2C)^2=0 \rightarrow D= 2C (**)

Sustituyo D=2C en (*): 16C^2+112C+96=0 \rightarrow C^2+7C+6=0
y obtenemos como soluciones:
C=-6 y C=-1
Calcula mos las otras varibles:
D= -12 y C=-2
E=25 y E=0

Vamos a comprobar si las soluciones son circunferencias.

  1. 1ª: las coordenadas del centro son (-3, -6). Por lo tanto 13= 25+36-r^2 \rightarrow r=\sqrt{61} es circunferencia. El punto de tangencia será (5, 2)
  2. las coordenadas del centro son (-1/2,-1). Por lo tanto 0=\dfrac{1}{4}+1-r^2 \rightarrow r=\sqrt{\dfrac{5}{4}} es circunferencia.El punto de tangencia será (1,0)

Posted in Circunferencia, Geometría analítica, Matemáticas | 6 Comments »