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Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Archive for the ‘Progresiones’ Category

Conjunto de post para entender las progresiones de 3º de la ESO

Problemas de progresiones aritméticas III

Posted by wgs84 en Domingo, 11 mayo, 2008

En este apartado colocaremos problemas con enunciado “real”

1) Un coronel manda 5050 soldados y quiere formar con ellos un triángulo para una exhibición, de modo que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres, etc. ¿Cuántas filas tienen que haber?

El número de soldados que hay en cada fila es el término de la sucesión: 1, 2,3, 4,...... Se trata de una P.A con a_1=1 y con d=1, por los que su término general es a_n=n.

5050 es la suma de los soldados ha habrá en n filas. Por lo que: 5050=\dfrac{1+a_n}{2} \cdot n
Sustituimos el término general por n: 5050=\dfrac{1+n}{2} \cdot n
10100=n+n^2
Las soluciones de esta ecuación son n=100 y n=-101. Como n ha de ser un número natural mayor que cero la respuesta correcta es 100 filas.

2) Un esquiador comienza la pretemporada de esquí haciendo pesas en un gimnasio durante una hora. Decide incrementar el entrenamiento 10 minutos cada día. ¿Cuánto tiempo deberá entrenar al cabo de 15 días? ¿Cuánto tiempo en total habrá dedicado al entrenamiento a lo largo de todo un mes de 30 días?

El tiempo de entrenamiento es una P.A en la que a_1=60 y d=10 todo en minutos. su término general es: a_n=60+(n-1) \cdot 10.

Al cabo de 15 ddías deberá entrenar a_{15}=60+14 \cdot 10=200 minutos.

En un mes habrá entrenado S_{30}=\dfrac{60+a_{30}}{2} \cdot 30
Calculamos a30. a_{30}=60+29 \cdot 10 = 350 minutos.

En un més S_{30}=\dfrac{60+350}{2} \cdot 30= 6150 minutos.

3) En una sala de cine, la primera fila de butacas dista de la pantalla 86 dm, y la sexta, 134 dm. ¿En qué fila estará una persona si su distancia a la pantalla es de 230 dm?

Las distancias de las filas de butacas a la pantalla forman una P.A donde el número de orden “n” es el número de fila. Por lo tanto los datos que nos dan son:

  1. a_1=86 dm
  2. a_6=134 dm

Nos preguntan en número de fila “n” cuya distnacia a la pantalla es a_n=230 decimetros.

230=86+(n-1)d. (1)

Obtenemos d a partir del término sexto: 134= 86+5d \rightarrow d=\dfrac{48}{5}
Sustituyendo en (1): 230=86 +(n-1) \cdot \dfrac{48}{5}. De donde n= 16

4) Las edades de cuatro hermanos forman una progresión aritmética, y su suma es 32 años. El mayor tiene 6 años más que el menor. Halla las edades de los cuatro hermanos

Vamos a considerar que el mayor es a_4.

\left. \begin{array}{rcl} a_1+a_2+a_3+a_4=32 \\ a_4-a_1= 6 \end{array} \right\}

Usando el término general nos queda:

\left. \begin{array}{rcl} a_1+a_1+d+a_1+2d+a_1+3d=32 \\ a_1+3d-a_1= 6 \end{array} \right\}
\left. \begin{array}{rcl} 4a_1+6d=32 \\ 3d= 6 \end{array} \right\}
\left. \begin{array}{rcl} 2a_1+3d=16 \\ d=2 \end{array} \right\}
\left. \begin{array}{rcl} 2a_1+3 \cdot 2=16 \\ d= 2 \end{array} \right\}
\left. \begin{array}{rcl} a_1=5 \\ d= 2 \end{array} \right\}

Las edades de los hermanos serán 5, 7, 9, 11

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Problemas de progresiones aritméticas II

Posted by wgs84 en Sábado, 10 mayo, 2008

1) Calcula la suma de los 20 primeros términos de la sucesión 3, 7, 11, 15, 19…

Es una P.A en la que a_1=3 y d=4. su término general será a_n=3+(n-1)4.

Para calcular lo que nos piden usaremos la fórmula de la suma S_{20}=\dfrac{3+a_{20}}{2} \cdot 20.

Obtenemos a_{20} a partir del término general a_{20}=3+19 \cdot 4=79
S_{20}=\dfrac{3+79}{2} \cdot 20=820

2) Calcular la suma de los 30 primeros términos de una sucesión en la que a7=17 y a2=2.

\dfrac{a_1+a_{30}}{2} \cdot 30.

Obtenemos el término general substituyendo los datos del problema en la fórmula del término general:
\left. \begin{array}{rcl} 17=a_1+6d \\ 2=a_1+d \end{array} \right\}

Restando las dos ecuaciones nos queda 15=5d\rightarrow d= 3
Sustituimos en la 2ª ecuación para obtener y 2=a_1+3 \rightarrow a_1=-1.

El término general de la P.A que no ocupa es: a_n=-1+(n-1)3.
Calculamos a30 a_{30}=-1+29 \cdot 3 \rightarrow a_{30}=86.

Así pues S_{30}=\dfrac{-1+86}{2} \cdot 30=1275

3) Cuantos términos hay que escoger en una P.A en la que la diferencia es 7 y el primer término 8 para que su suma sea 30690

El término general de la P.A es 8+(n-1)7=7n+1.

La incognita es “n” (número de términos a sumar o posición del último término).
30690=\dfrac{8+a_n}{2} \cdot n.
Sustituimos an por el término general.
30690=\dfrac{8+7n+1}{2} \cdot n.
61380=7n^2+9n
0=7n^2+9n-61380.
De las soluciones de la ecuación escogemos la que es un número natural maor que cero: 93.

4) Calcula la suma de los múltiplos de 3 menores de 1000

Los múltiplos de 1000 forman una P.A cuyo primer término es 3 y la diferencia es 3. a_n=3n

El múltiplo de tres más cercano a 1000 es 999 y la posición que ocupa es la 333 999=3n\rightarrow n=333. Así pues hemos de sumar 333 términos:
S_{333}=\dfrac{3+999}{2} \cdot 333=166833.

5) Calcula la suma de los múltiplos de 5 mayores que 100 y menores que 1000.

Esos múltiplos de 5 forman un P. A en la el primer término es 105 y el último 995. Para averiguar cuántos términos hay. Introducimos 995 en el término general de la P.A:
995= 105+(n-1)5. De aquí n= 161

S_{161}=\dfrac{105+995}{2} \cdot 161=88550

6) Calcula a10 en una P.a en la que el primer término es 1 y la suma de los 40 primeros términos es 140 veces el sexto término.

La ecuación que resuleve el problema es S_40=140a_6.

\dfrac{a_1+a_{40}}{2} \cdot 40=140a_6

Sustituimos los términos a40 y a6 por el término general y a1 por su valor 1.

\dfrac{1+1+39d}{2} \cdot 40=140(1+5d)
Simplificamos: 2+39d=7(1+5d)
2+39d=7+35d \rightarrow d=\dfrac{5}{4}

a_{10}=1+9 \cdot \dfrac{5}{4}=\dfrac{49}{4}

7) La suma de los once primeros términos de una progresión aritmética es 176 y la diferencia de los extremos es 30. Halla los términos de la progresión.

Las ecuaciones que nos van a permitir resolver el problema son:

1) 176=\dfrac{a_1+a_{11}}{2} \cdot 11
2) a_{11}-a_1=30.

Como a_{11}=a_1+10d nos queda el sistema:
\left. \begin{array}{rcl} 16=\dfrac{a_1+a_1+10d}{2} \\ a_1 +10d -a_1=30 \end{array} \right\}

\left. \begin{array}{rcl} 16=a_1 +5d \\ 10d=30 \end{array} \right\}

d= 3 y a_1=1
La progresión es: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31

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Suma de los n primeros términos de una P.A

Posted by wgs84 en Sábado, 10 mayo, 2008

Vamos a obtener la expresión que nos permite calcular la suma de los n primeros términos de una P.A. :S_n.

Recordar que la suma de términos equidistantes en una P.A es igual a la suma de los extremos a_1+a_n

Para obtenerla partiremos de la siguiente disposición práctica:
S_n=a_1+a_2+a_3+ ............. +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n
S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ .......... +a_3+a_2+a_n

Sumando ambas expresiones y agrupando términos equidistantes (n parejas)
2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ ....+(a_3+a_{n-2})+(a_2+a_{n-1})+(a_1+a_n)
2S_n=(a_1+a_n)n y ya de aquí:

S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}n

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Suma de los términos equidistantes en una P.A

Posted by wgs84 en Sábado, 10 mayo, 2008

En una progresión aritmética la suma de los términos equidistantes a los extremos es igual a la suma de los extremos.

Sea una P.A de n términos: a_1, a_2, a_3,.............,a_{n-2}, a_{n-1}, a_n

Son términos equidistantes a los extremos:
a_1 y a_n
a_2 y a_{n-1}
a_3 y a_{n-2}

Dos términos cualesquiera equidistantes de los extremos serán a_h y a_{n-h+1}.
Vamos a demostrar que a_h+a_{n-h+1}=a_1+a_n.

Usando la expresión del término general de una P.A tenemos que a_h=a_1+(h-1)d (1)

Lo aplicamos también a a_{n-h+1}
a_{n-h+1}=a_1+(n-h+1-1)d
a_{n-h+1}=a_1+(n-1+1-h)d
a_{n-h+1}=a_1+(n-1)d+(1-h)d

Como a_n=a_1+(n-1)d y 1-h=-(h-1) podemos escribir:
a_{n-h+1}=a_n-(h-1)d (2)

Si sumamos (1) y (2) tenemos que:

a_h+a_{n-h+1}=a_1+(h-1)d+a_n-(h-1)d=a_1+a_n. c.q.d

Nota: este post ha sido escrito y publicado con la extensión Scribefire de firefox

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Problemas de progresiones aritméticas I

Posted by wgs84 en Viernes, 9 mayo, 2008

1) El problema de los tres términos

Calcula tres términos de una P.A tales que su suma sea 27 y su producto 693

El truco consiste en decir que el término central es “a” y la diferencia “d”. De este modo la sucesión queda así: a-d, a, a+d
Teniendo en cuenta la primera condición; a-d+a+a+d=27 .Por lo que 3a= 27 \rightarrow a=9.
La segunda condicón da lugar a la ecuación: (a-d) \cdot a \cdot (a+d)= 693
Sustituyendo a=9 queda:
(9-d) 9(9+d)=693
(9-d)(9+d)=77
81-d^2=77
d^2=4 \rightarrow d= \pm 2
La números buscados son : 7,9 ,11 ó 11,9 , 7

2)Los términos tercero y séptimo de una P.A suman 46 y la suma del segundo y el cuarto es 26. Calcula dischos términos

El enunciado da lugar al sistema:
\left. \begin{array}{rcl}  a_3+a_7  = 46 \\ a_2+a_4  =  26 \end{array} \right\}.
Utilizaremos la fómula del término general (a_n=a_1+(n-1)d) para reducir las incógnitas a dos:
\left. \begin{array}{rcl}  a_1+2d+a_1+6d=46 \\ a_1+d+a_1+3d=26 \end{array} \right\}.
\left. \begin{array}{rcl}  2a_1+8d=46 \\ 2a_1+4d=26 \end{array} \right\}.

Restando las dos ecuaciones queda 4d=20\rightarrow d= 5
Sustituyo en la segunda ecuación del sistema: 2a_1+20=26 \rightarrow a_1=3 y obtenmos a_1

El término general será :a_n=3+(n-1)5=5n-2
a_2= 8; a_3=13; a_4=18; y a_7=33

3) Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus medidas, expresadas en metros, están en progresión aritmética de diferencia 3.

Los lados en P.A tendrán la forma a, a+3, a+6. Como son los lados de un trinángulo rectángulo cumplirán el teorema de Pitágoras:
(a+6)^2=(a+3)^2+a^2
a+12a+36=a^2+6a+9+a^2 \rightarrow a^2-6a-27=0.
LKasa soluciones de esta ecuación son a= 9 y a= -3. Como se trata de los lados de un triángulo (longitud siempre positiva) nos quedamos con a= 9 y los lados del triangulo medirán 9, 12, 15.

4) Halla tres números que estén en progresión aritmética y tales que, aumentados en 5, 4 y 7 unidades respectivamente, sean proporcionales a 5, 6 y 9.

Los tres números en P.A serán a, a+d, a+2d. Si los aumentamos en 5, 4 y 7 respectivamente quedan así: a+5, a+d+4, a+2d+7.
Si establecemos la proporcionalidad respecto a 5, 6 y 9 nos obtenemos una serie de tres razones de las sacaremos 2 proporciones para montar un sistema y calcular “a” y “d”.
\dfrac{a+5}{5}=\dfrac{a+d+4}{6}=\dfrac{a+2d+7}{9}.

Multiplicamos en cruz la 1ª y la 2ª y la 2ª con la tercera:
\left. \begin{array}{rcl}  6a+30=5a+5d+20 \\ 9a+9d+36=6a+12d+42 \end{array} \right\}.
Transponiendo y agrupando términos:
\left. \begin{array}{rcl}  a-5d=-10 \\ 3a-3d=6 \end{array} \right\}.
Simplificando la segunda ecuación
\left. \begin{array}{rcl}  a-5d=-10 \\a-d= 2 \end{array} \right\}.

Si restamos las ecuaciones (reducción) nos queda que d= 3
Sustituimos en la 2ª ecuación a-3=2 \rightarrow a=5
Así pues los números buscados son: 5, 8 , 11

5) Interpolación de medios aritméticos o diferenciales

Interpola 4 medios aritméticos o diferenciales en tre los números 8 y 18

Interpolar 4 medios diferenciales entre 8 y 18 es formar la siguiente P.A: 8, a_2, a_3, a_4, a_5, 18
Donde a_2, a_3, a_4, a_5 son los cuatro números a interpolar, 8= a_1 y 18=a_6.

Usando la expresión del término general de una P.A tenemos que 18=8+5d . De donde d=2. Y ya podemos formar la P.A: 8, 10, 12, 14, 16, 18.

6) Halla cuatro números en progresión aritmética, conociendo su suma, que es 22, y la suma de sus cuadrados, 166.

Para facilitar la resolucion del sistema utilizamos el mismo truco que en el problema 1. Los números en cuestión serán: a-d, a, a+d, a+2d

El sistema de ecuaciones no lineal nos queda:

\left. \begin{array}{rcl}a-d+a+a+d+a+2d=22 \\ (a-d)^2+a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2= 166 \end{array} \right\}.

Agrupando en la primera ecuación 4a+2d=22 \rightarrow 2a+d= 11

d=11-2a. Sustituimos en la ecuación no lineal:

(3a-11)^2+a^2+(11-a)^2+(22-3a)^2=166

Desarrollando y agrupando: 20a^2-220a+560=0.

Simplificando a^2-11a+28. Cuyas soluciones son: a=7 y a=4.

Si a= 7 entonces d=11-2 \cdot 7=-3 y la P.A 10, 7, 4, 1

Si a= 4 entonces d=11-2 \cdot 4=3 y la P.A 1, 4, 7, 10 como debía de ser

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Término general de una progresión aritmética. Problemas tipo

Posted by wgs84 en Jueves, 8 mayo, 2008

Una P.A es una sucesión definida por una ley de recurrencia. Obtenemos un término a partir del anterior sumando una cantida constante que llamaremos diferencia.

La sucesión 2,5,8,11…. es una P.A de diferencia d=3.

Fijaros que para construir una progresión necesitaremoso el primer término y la diferencia.

Deducción de la formula del término general:

a_1
a_2=a_1+d
a_3=a_2+d=a_1+2d
a_4=a_3+d=a_1+3d
………
a_n=a_1+(n-1)d

Problemas tipo

  1. Calcula el término décimo de un P.A en la que el primer término es 9 y la diferencia -3:Datos a1, d y n. Incógnita ana_{10}=9+(10-1) (-3)=-18
  2. ¿Cuál es el primer término de una P.A en la que a_3=7 y la diferencia es 2?Datos an, d y n. Incógnita a17=a_1+2 \cdot 2\rightarrow 7-4=3=a_1

  3. Calcula la diferencia de una P.A en la que a_1= -9 y a_7= 6:Datos a1, an y n. Incógnita d

    6=-9 + 6d\rightarrow d=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}

  4. Cuantos términos hay en una P.A limitada en la que a_1=7 , la diferencia es 3 y el último término es 64.Datos a1,an y d. Incógnita n64=7+(n-1) 3\rightarrow 64=7+3n-3 \rightarrow 64= 3n+4 \rightarrow n= 20
  5. Calcula el término general de una P.A en la que a_2=10 y a_5=19Datos dos términos de la P.A. Incógnitas a1 y dResolvemos el siguiete sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} 10 & = & a_1+d  \\ 19 & = & a_1+4d \end{array} \right\}
    Restamos las ecuaciones y nos queda:
    9=3d \rightarrow d=3
    Calculamos a_1: 10= a_1+3 \rightarrow a_1= 7
    El término general será a_n=7 +(n-1)\cdot 3

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