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Término general de una progresión aritmética. Problemas tipo

Publicado por wgs84 en Jueves, 8 Mayo, 2008

Una P.A es una sucesión definida por una ley de recurrencia. Obtenemos un término a partir del anterior sumando una cantida constante que llamaremos diferencia.

La sucesión 2,5,8,11…. es una P.A de diferencia d=3.

Fijaros que para construir una progresión necesitaremoso el primer término y la diferencia.

Deducción de la formula del término general:

$a_1$
$a_2=a_1+d$
$a_3=a_2+d=a_1+2d$
$a_4=a_3+d=a_1+3d$
………
$a_n=a_1+(n-1)d$

Problemas tipo

Calcula el término décimo de un P.A en la que el primer término es 9 y la diferencia -3:Datos a₁, d y n. Incógnita a_n $a_{10}=9+(10-1) (-3)=-18$
¿Cuál es el primer término de una P.A en la que $a_3=7$ y la diferencia es 2?Datos a_n, d y n. Incógnita a₁ $7=a_1+2 \cdot 2\rightarrow 7-4=3=a_1$
Calcula la diferencia de una P.A en la que $a_1= -9$ y $a_7= 6$ :Datos a₁, a_n y n. Incógnita d
$6=-9 + 6d\rightarrow d=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}$
Cuantos términos hay en una P.A limitada en la que $a_1=7$ , la diferencia es 3 y el último término es 64.Datos a₁,a_n y d. Incógnita n $64=7+(n-1) 3\rightarrow 64=7+3n-3 \rightarrow 64= 3n+4 \rightarrow n= 20$
Calcula el término general de una P.A en la que $a_2=10$ y $a_5=19$ Datos dos términos de la P.A. Incógnitas a₁ y dResolvemos el siguiete sistema:
$\left. \begin{array}{rcl} 10 & = & a_1+d \\ 19 & = & a_1+4d \end{array} \right\}$
Restamos las ecuaciones y nos queda:
$9=3d \rightarrow d=3$
Calculamos $a_1$ : $10= a_1+3 \rightarrow a_1= 7$
El término general será $a_n=7 +(n-1)\cdot 3$

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Circunferencias tangentes II

Publicado por wgs84 en Jueves, 8 Mayo, 2008

Hallar la ecuacion de la circunferencia que tiene su centro sobre el eje x y pasa por las intersecciones de las circunferencias C1: $x^2+y^2-8x-6y+17=0$ y C2: $x^2+y^2-18x-4y+67=0$

Calculamos la intersección de las dos circunferencias. Las restamos para obtener una ecuación lineal.
$x^2+y^2-8x-6y+17 -x^2-y^2+18x+4y-67=0$
$10x-2y-50=0 \rightarrow 5x-y-25=0 \rightarrow 5x-25=y$

Sustituimos en la ecuación de alguna de las circunferencias, por ejemplo la primera:
$x^2+(5x-25)^2-8x-6(5x-25)+17=0$
Desarrollamos y agrupamos $26x^2-288x+792=0 \rightarrow 13x^2-144x+396=0$
Las soluciones son $\left ( \dfrac{66}{13}, \dfrac{5}{13} \right )$ y $(6, 5)$ . Que son dos puntos de la circunferencia incógnita.

Si el centro está sobre el eje X tiene la forma (x, 0) y la distancia a los dos punto de paso será igual (el radio).
$\left (x- \dfrac{66}{13} \right )^2+ \dfrac{25}{169}=(x-6)^2+25$
La resolvemos y el centro es $(19, 0)$ .