Archive for octubre 2007

Raíz de un radical

Posted by wgs84 en jueves, 4 octubre, 2007

La raíz de índice m de un radical de índice n es otro radical con el mismo radicando pero cuyo índice es el producto de los índices anteriores:

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{A}}= \sqrt[m \cdot n]{A}$

Demostración:

$\sqrt[n]{A}=p$ por definición de radical $p^n=A$ (1)

$\sqrt[m]{p}= q$ por definición de radical $q^m=p$ (2)

Tomamndo potencias de exponente n en ambos miembros de (2):

$(q^m)^n=p^n=A$ (3)

Tomamos en (3) raíces de índice m·n y simplificando:

$\sqrt[m \cdot n]{q^{m \cdot m}}=\sqrt[m \cdot n]{A}$

$q=\sqrt[m \cdot n]{A}$

Teniendo en cuenta el valor de q en(2) :

$\sqrt[m]{p}=\sqrt[m \cdot n]{A}$

Teniendo en cuenta el valor de p en (1):

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{A}}= \sqrt[m \cdot n]{A}$

Ejemplos:

$\sqrt[3]{\sqrt[4]{x^3}}=\sqrt[12]{x^3}=\sqrt[4]{x}$ . Simplificando
$\sqrt{ab^2 \sqrt[3]{ab}}$ . Introducimos $ab^2$ en el segundo radical (índice 3) elevando ambos factores al cubo: $\sqrt{\sqrt[3]{a^3 b^6 ab}}=\sqrt[6]{a^4 b^7}$ . Extraemos factores: $\sqrt[6]{a^4 b^6 b}=b \cdot \sqrt[6]{a^4 b}$
$\sqrt[3]{ \dfrac{a b^2}{c} \sqrt[4]{\dfrac{c}{a^2 b^3}}}=\sqrt[3]{\sqrt[4]{\dfrac{a^4 b^8}{c^4} \cdot \dfrac{c}{a^2 b^3}}}=\sqrt[12]{\dfrac{a^2 b^5}{c^3}}$

Posted by wgs84 en miércoles, 3 octubre, 2007

Si elevamos un radical a un exponente m obtenemos otro radical con el mísmo índice pero con el radicando elevado a m

$\left ( \sqrt[n]{A} \right )^m=\sqrt[n]{A^m}$

La demostración es muy sencilla usando el producto de radicales:

$\left ( \sqrt[n]{A} \right )^m=\sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{A} \cdot ........\sqrt[n]{A}=\sqrt[n]{A \cdot A \cdot A....\cdot A}=\sqrt[n]{A^m}$

Ejemplos:

$( \sqrt[3]{2ab^2})^2=\sqrt[3]{2^2 a^2 b^4}$ Extraemos factores $\sqrt[3]{2^2 a^2 b^3 b}=b \sqrt[3]{2^2 a^2 b}$
$(2x^2 y \sqrt{3 xy})^3=2^3 x^6 y^3 \sqrt{3^3 x^3 y^3}$ Extraemos factores y reducimos $2^3 x^6 y^3 \sqrt{3^2 3 x^2 x y^2 y}= 2^3 3 x^7 y^4 \sqrt{3 x y}$
$\left (\dfrac{3a}{b} \sqrt{\dfrac{b}{9a}} \right )^3=\dfrac{3^3}{b^3} \sqrt{\dfrac{b^3}{3^6 a^3}}=\dfrac{3^3}{b^3}\sqrt{\dfrac{b^2 b}{3^6 a^2 a}}=\dfrac{3^3}{b^3} \dfrac{b}{3^3 a} \sqrt{\dfrac{b}{a}}=\dfrac{1}{b^2 a} \sqrt{\dfrac{b}{a}}$