El blog de Ed

Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Archive for 31 marzo 2007

No lo puedo evitar

Posted by wgs84 en Sábado, 31 marzo, 2007

No lo puedo evitar. La he encontrado en un blog educativo, no recuerdo cual:

keleden

Posted in General | Leave a Comment »

Binomio de Newton 2

Posted by wgs84 en Viernes, 30 marzo, 2007

1) Calcula el término de lugar 42 del desarrollo de \left ( 2a+ \dfrac{5}{b} \right )^{200}El primer término será \dbinom{200}{0}2^{200}a^{200}

El segundo término será \dbinom{200}{1}2^{199}a^{199} \cdot \dfrac{5}{b}

Así pues el y término de lugar 42 será \dbinom{200}{41} 2^{159}a^{159}\cdot \dfrac{5^{41}}{b^{41}}

En general un término de lugar k tiene la forma T_k=\dbinom{n}{k-1}a^{n-k+1}\cdot b^{k-1}

2) ¿Cual es el término que contiene a^7 en el desarrollo de \left ( 3a^2b+\dfrac{2b}{a} \right ) ^{20}

Un término de lugar k en ese desarrollo tendra la forma: \dbinom{20}{k-1}3^{20-k+1}\cdot a^{40-2k+2}\cdot \dfrac{2^{k-1}b^{k-1}}{a^{k-1}}

El factor a es el que nos interesa y su exponente resultará:

40-2k+2-(k-1)= 43-3k.

Como buscamos el exponente 7 resolvemos la ecuación 43-3k=7 cuya solución es k= 12

3) Calcula el término central del desarrollo \left (x+\sqrt{x}) \right )^6
El término central es aquel que deja el mismo número de términos a su izquierda que a su derecha. Como en este caso hay 7 términos (impar) hay un único término central que será \frac{7+1}{2}=4
\dbinom{6}{3}x^3\cdot (x^{1/2})^3= 20x^{\frac{9}{2}}

Posted in Combinatoria, Matemáticas | 5 Comments »

Binomio de Newton 1

Posted by wgs84 en Jueves, 29 marzo, 2007

El binomio de Newton sirve para calcular potencias de binomios y su formula es:

(a+b)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^{n} \dbinom{n}{i} a^{n-i}\cdot b^i

Si se trata de una diferencia la fórmula es:

(a-b)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \dbinom{n}{i} a^{n-i}\cdot b^i

Veamos una par de ejemplos sencillos:

(2x+3)^3= \dbinom{3}{0} (2x)^3 \cdot 3^0+\dbinom{3}{1} (2x)^2 \cdot 3^1+\dbinom{3}{2} (2x)^1 \cdot 3^2+\dbinom{3}{3} (2x)^0 \cdot 3^3

Calculando potencias y números combinatorios (triángulo de Tartaglia-Pascal) nos queda:

8x^3+36x^2+54x+27

Ejemplo de resta:

(3x-2y)^4=(-1)^0\cdot \dbinom{4}{0} (3x)^4 \cdot(2y)^0 +(-1)^1\cdot \dbinom{4}{1} (3x)^3 \cdot(2y)^1+(-1)^2\cdot \dbinom{4}{2} (3x)^2 \cdot(2y)^2+(-1)^3\cdot \dbinom{4}{3} (3x)^1 \cdot(2y)^3+ (-1)^4\cdot \dbinom{4}{4} (3x)^0 \cdot(2y)^4

Calculando potencias y números combinatorios:

16y^4-96y^3 x+216y^2x^2-216 yx^3+81x^4

El desarrollo del binomio de Newton puede complicarse si aparecen expresiones fraccionarias y hay que simplificarlas. Por ejemplo:

\left ( \dfrac{2x}{3}+\dfrac{9}{2x^2} \right )^4

Intentadlo. La solución

Posted in Combinatoria, Matemáticas | 22 Comments »

Ecuaciones trigonométricas 4

Posted by wgs84 en Miércoles, 21 marzo, 2007

Vamos a presentar un método de factorización para resolver algunas ecuaciones trigonométricas

\tan x= 2 \sin x

 

\dfrac{\sin x}{\cos x}= 2 \sin x

\sin x = 2 \sin x \cos x

\sin x - 2 \sin x \cos x=0

Sacamos factor común \sin x

\sin x (1-2 \cos x)=0

Por lo tanto:

  • \sin x = 0 \rightarrow x = 0 + \pi k
  • 1- 2 \cos x = 0 \rightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \rightarrow x= \dfrac{ \pi}{3} + \pi k y x= \dfrac{5 \pi}{3} + {\pi}k

Posted in Matemáticas, Trigonometría | 5 Comments »

Ecuaciones trigonométricas 3

Posted by wgs84 en Miércoles, 21 marzo, 2007

Vamos a resolver ecuaciones trigonométricas transformandolas en ecuaciones algebraicas mediante un cambio de variable (opcional)

2 \sin^2 x-4=5 \cos x

Vamos a transformar toda la ecuación a \cos x ya que \sin^2 x es facilmente trnasformable en coseno mediante la igualdad fundamental de la trigonometría.

2(1-\cos^2 x)-4=5 \cos x

 

2 -2 \cos^2 x-4=5 \cos x

 

0=2 \cos^2 x+5 \cos x+2

Ahora, si cosx=t tenemos que:

0=2t^2+5t+2

Resolviendo la ecuación de 2º grado nos queda que:

t= \cos x= -2 que es imposible porqué recuerda que -1 \leqslant \cos x \leqslant 1

t= \cos x = -\dfrac{1}{2}

x= \dfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi k
x= \dfrac{4 \pi}{3} + 2 \pi k con k un entero

Posted in Matemáticas, Trigonometría | Leave a Comment »

Presentación

Posted by wgs84 en Lunes, 19 marzo, 2007

Muy buenas a todo navegante que ronde estos lares. Esta entrada es una especie de presentación, al público en general y a mis alumnos de Matemáticas en particular. Este blog va a estar dedicado prácticamente a una de las cosas que me hacen más feliz: Las, tan odiadas por algunos, Matemáticas. Dejaré las cosas sobre Linux y la web 2.0 para mi otro blog .Unicamente dedicaré algún que otro post a las cosas que vaya aprendiendo sobre wordpress.

La organización inicial de los artículos os puede parecer un tanto caótica. Perdonad pero tened en cuenta que son un conjunto de pruebas y escarceos.

Sin nada más que decir por el momento me despido.

Ed 🙂

P.D: No tengo muy claro si matemáticas, como rama del saber va con mayúscula o minúscula

Posted in General | Leave a Comment »

Ecuaciones con números combinatorios 4

Posted by wgs84 en Lunes, 19 marzo, 2007

Vamos a resolver un último ejemplo de ecuación con números combinatorios. Se trata de ecuaciones con números combinatorios a ambos lados de la igualdad .Se resuleven “rebajando” los factoriales y eliminando factores comunes en ambos miembros de la ecuación

3\dbinom{x}{4}=5\dbinom{x}{2}

3\cdot \dfrac{x!}{4!\cdot(x-4)!}=5\cdot\dfrac{x!}{2!\cdot(x-2)!}

Método 1:

\dfrac{3x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)!}{4\cdot3\cdot2!(x-4)!}=\dfrac{5x(x-1)(x-2)!}{2!(x-2)!}

Simplificamos factoriales y coeficientes numéricos y nos queda:

x(x-1)(x-2)(x-3)=20x(x-1)

Eliminamos los factores x(x-1)

(x-2)(x-3)=20

x^2-5x-14=0

Las soluciones son x= -2 (eliminada por ser negativa) y x=7 que es la buena.

Metodo 2:

Desarrollamos para buscar factores comunes a ambos lados de la igualdad:

\dfrac{3x!}{4\cdot3\cdot2!(x-4)!}=\dfrac{5x!}{2!(x-2)(x-3)(x-4)!}

Eliminamos factores comunes:

\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{(x-2)(x-3)}

Multiplicando en cruz llegamos a la misma ecuación de segundo grado y a la misma solución.

Posted in Combinatoria, Matemáticas | 3 Comments »

Ecuaciones con números combinatorios 3

Posted by wgs84 en Domingo, 18 marzo, 2007

Resolución mediante la aplicación de la fórmula de Stifel:

\dbinom{a}{1}+\dbinom{a+1}{3}+\dbinom{a}{2}+\dbinom{a+2}{4}=\dbinom{a+3}{10}

Aplicamos la fórmula de Stifel: \dbinom{a}{1}+\dbinom{a}{2}=\dbinom{a+1}{2}

La ecuación queda así:

\dbinom{a+1}{2}+\dbinom{a+1}{3}+\dbinom{a+2}{4}=\dbinom{a+3}{10}

Volvemos a aplicar la fórmula: \dbinom{a+1}{2}+\dbinom{a+1}{3}=\dbinom{a+2}{3}

La ecuación queda así:

\dbinom{a+2}{3}+\dbinom{a+2}{4}=\dbinom{a+3}{10}

Aplicamos la fórmula por tercera vez y obtenemos:

\dbinom{a+3}{4}=\dbinom{a+3}{10}

Estos números combinatorios han de ser a la fuerza complementarios por lo que:

a+3-10=4 y entonces a=11

Posted in Combinatoria, Matemáticas | Leave a Comment »

Ecuaciones con números combinatorios 2

Posted by wgs84 en Domingo, 18 marzo, 2007

Ecuaciones del tipo : \dbinom{m}{a}=\dbinom{m}{b}

Estos dos números combinatorios o son idénticos o són complementarios:

  • Si son idénticos: a=b
  • Si son complementarios: a=m-b m=a+b

Ejemplo: \dbinom{10+p}{p+4}=\dbinom{10+p}{2p-10}

  1. Consideramos que son iguales:

    p+4=2p-10 y p=14 por lo que tenemos

    \dbinom{24}{14}=\dbinom{24}{18} y la solución es válida

  2. Consideramos que son complementarios:

    p+4+2p-10=10+p y p=8 por lo que tenemos

    \dbinom{18}{12}=\dbinom{18}{6} y la solución también es válida

Posted in Combinatoria, Matemáticas | Leave a Comment »

Ecuaciones con números combinatorios 1

Posted by wgs84 en Sábado, 17 marzo, 2007

Vamos a resolver la ecuación mediante desarrollo de factoriales:

\dfrac{n(n^2+6)}{6}=\dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{1}+\dbinom{n}{2}+\dbinom{n}{3}

Aplicamos la definición de número combinatorio y algunas de las propiedades que conocemos:

\dfrac{n(n^2+6)}{6}= 1+n+\dfrac{n!}{2!(n-2)!}+\dfrac{n!}{3!(n-3)!}

Rebajamos los factoriales:

\dfrac{n(n^2+6)}{6}= 1+n+\dfrac{n(n-1)(n-2)!}{2!(n-2)!}+\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{3!(n-3)!}

\dfrac{n(n^2+6)}{6}= 1+n+\dfrac{n(n-1)}{2}+\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}

Esto ya es una ecuación algebraica normal. Eliminando denominadores y parénteis:

n^3 +6n= 6 +6n+3n^2-3n+n^3-3n^2+2n

n=6

Veremos más ejemplos más adelante

Posted in Combinatoria, Matemáticas | 2 Comments »