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Archive for marzo 2007

No lo puedo evitar

Posted by wgs84 en sábado, 31 marzo, 2007

No lo puedo evitar. La he encontrado en un blog educativo, no recuerdo cual:

Binomio de Newton 2

Posted by wgs84 en viernes, 30 marzo, 2007

1) Calcula el término de lugar 42 del desarrollo de $\left ( 2a+ \dfrac{5}{b} \right )^{200}$ El primer término será $\dbinom{200}{0}2^{200}a^{200}$

El segundo término será $\dbinom{200}{1}2^{199}a^{199} \cdot \dfrac{5}{b}$

Así pues el y término de lugar 42 será $\dbinom{200}{41} 2^{159}a^{159}\cdot \dfrac{5^{41}}{b^{41}}$

En general un término de lugar k tiene la forma $T_k=\dbinom{n}{k-1}a^{n-k+1}\cdot b^{k-1}$

2) ¿Cual es el término que contiene $a^7$ en el desarrollo de $\left ( 3a^2b+\dfrac{2b}{a} \right ) ^{20}$

Un término de lugar k en ese desarrollo tendra la forma: $\dbinom{20}{k-1}3^{20-k+1}\cdot a^{40-2k+2}\cdot \dfrac{2^{k-1}b^{k-1}}{a^{k-1}}$

El factor a es el que nos interesa y su exponente resultará:

$40-2k+2-(k-1)= 43-3k$ .

Como buscamos el exponente 7 resolvemos la ecuación 43-3k=7 cuya solución es k= 12

3) Calcula el término central del desarrollo $\left (x+\sqrt{x}) \right )^6$
El término central es aquel que deja el mismo número de términos a su izquierda que a su derecha. Como en este caso hay 7 términos (impar) hay un único término central que será $\frac{7+1}{2}=4$
$\dbinom{6}{3}x^3\cdot (x^{1/2})^3= 20x^{\frac{9}{2}}$

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Binomio de Newton 1

Posted by wgs84 en jueves, 29 marzo, 2007

El binomio de Newton sirve para calcular potencias de binomios y su formula es:

$(a+b)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^{n} \dbinom{n}{i} a^{n-i}\cdot b^i$

Si se trata de una diferencia la fórmula es:

$(a-b)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \dbinom{n}{i} a^{n-i}\cdot b^i$

Veamos una par de ejemplos sencillos:

$(2x+3)^3= \dbinom{3}{0} (2x)^3 \cdot 3^0+\dbinom{3}{1} (2x)^2 \cdot 3^1+\dbinom{3}{2} (2x)^1 \cdot 3^2+\dbinom{3}{3} (2x)^0 \cdot 3^3$

Calculando potencias y números combinatorios (triángulo de Tartaglia-Pascal) nos queda:

$8x^3+36x^2+54x+27$

Ejemplo de resta:

$(3x-2y)^4=(-1)^0\cdot \dbinom{4}{0} (3x)^4 \cdot(2y)^0 +(-1)^1\cdot \dbinom{4}{1} (3x)^3 \cdot(2y)^1+(-1)^2\cdot \dbinom{4}{2} (3x)^2 \cdot(2y)^2+(-1)^3\cdot \dbinom{4}{3} (3x)^1 \cdot(2y)^3+ (-1)^4\cdot \dbinom{4}{4} (3x)^0 \cdot(2y)^4$

Calculando potencias y números combinatorios:

$16y^4-96y^3 x+216y^2x^2-216 yx^3+81x^4$

El desarrollo del binomio de Newton puede complicarse si aparecen expresiones fraccionarias y hay que simplificarlas. Por ejemplo:

$\left ( \dfrac{2x}{3}+\dfrac{9}{2x^2} \right )^4$

Intentadlo. La solución

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Ecuaciones trigonométricas 4

Posted by wgs84 en miércoles, 21 marzo, 2007

Vamos a presentar un método de factorización para resolver algunas ecuaciones trigonométricas

$\tan x= 2 \sin x$

$\dfrac{\sin x}{\cos x}= 2 \sin x$

$\sin x = 2 \sin x \cos x$

$\sin x - 2 \sin x \cos x=0$

Sacamos factor común $\sin x$

$\sin x (1-2 \cos x)=0$

Por lo tanto:

$\sin x = 0 \rightarrow x = 0 + \pi k$
$1- 2 \cos x = 0 \rightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \rightarrow$ $x= \dfrac{ \pi}{3} + \pi k$ y $x= \dfrac{5 \pi}{3} + {\pi}k$

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Ecuaciones trigonométricas 3

Posted by wgs84 en miércoles, 21 marzo, 2007

Vamos a resolver ecuaciones trigonométricas transformandolas en ecuaciones algebraicas mediante un cambio de variable (opcional)

$2 \sin^2 x-4=5 \cos x$

Vamos a transformar toda la ecuación a $\cos x$ ya que $\sin^2 x$ es facilmente trnasformable en coseno mediante la igualdad fundamental de la trigonometría.

$2(1-\cos^2 x)-4=5 \cos x$

$2 -2 \cos^2 x-4=5 \cos x$

$0=2 \cos^2 x+5 \cos x+2$

Ahora, si $cosx=t$ tenemos que:

$0=2t^2+5t+2$

Resolviendo la ecuación de 2º grado nos queda que:

$t= \cos x= -2$ que es imposible porqué recuerda que $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$

$t= \cos x = -\dfrac{1}{2}$

$x= \dfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi k$
$x= \dfrac{4 \pi}{3} + 2 \pi k$ con k un entero

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Presentación

Posted by wgs84 en lunes, 19 marzo, 2007

Muy buenas a todo navegante que ronde estos lares. Esta entrada es una especie de presentación, al público en general y a mis alumnos de Matemáticas en particular. Este blog va a estar dedicado prácticamente a una de las cosas que me hacen más feliz: Las, tan odiadas por algunos, Matemáticas. Dejaré las cosas sobre Linux y la web 2.0 para mi otro blog .Unicamente dedicaré algún que otro post a las cosas que vaya aprendiendo sobre wordpress.

La organización inicial de los artículos os puede parecer un tanto caótica. Perdonad pero tened en cuenta que son un conjunto de pruebas y escarceos.

Sin nada más que decir por el momento me despido.

Ed 🙂

P.D: No tengo muy claro si matemáticas, como rama del saber va con mayúscula o minúscula

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Ecuaciones con números combinatorios 4

Posted by wgs84 en lunes, 19 marzo, 2007

Vamos a resolver un último ejemplo de ecuación con números combinatorios. Se trata de ecuaciones con números combinatorios a ambos lados de la igualdad .Se resuleven «rebajando» los factoriales y eliminando factores comunes en ambos miembros de la ecuación

$3\dbinom{x}{4}=5\dbinom{x}{2}$

$3\cdot \dfrac{x!}{4!\cdot(x-4)!}=5\cdot\dfrac{x!}{2!\cdot(x-2)!}$

Método 1:

$\dfrac{3x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)!}{4\cdot3\cdot2!(x-4)!}=\dfrac{5x(x-1)(x-2)!}{2!(x-2)!}$

Simplificamos factoriales y coeficientes numéricos y nos queda:

$x(x-1)(x-2)(x-3)=20x(x-1)$

Eliminamos los factores $x(x-1)$

$(x-2)(x-3)=20$

$x^2-5x-14=0$

Las soluciones son x= -2 (eliminada por ser negativa) y x=7 que es la buena.

Metodo 2:

Desarrollamos para buscar factores comunes a ambos lados de la igualdad:

$\dfrac{3x!}{4\cdot3\cdot2!(x-4)!}=\dfrac{5x!}{2!(x-2)(x-3)(x-4)!}$

Eliminamos factores comunes:

$\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{(x-2)(x-3)}$

Multiplicando en cruz llegamos a la misma ecuación de segundo grado y a la misma solución.

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Ecuaciones con números combinatorios 3

Posted by wgs84 en domingo, 18 marzo, 2007

Resolución mediante la aplicación de la fórmula de Stifel:

$\dbinom{a}{1}+\dbinom{a+1}{3}+\dbinom{a}{2}+\dbinom{a+2}{4}=\dbinom{a+3}{10}$

Aplicamos la fórmula de Stifel: $\dbinom{a}{1}+\dbinom{a}{2}=\dbinom{a+1}{2}$

La ecuación queda así:

$\dbinom{a+1}{2}+\dbinom{a+1}{3}+\dbinom{a+2}{4}=\dbinom{a+3}{10}$

Volvemos a aplicar la fórmula: $\dbinom{a+1}{2}+\dbinom{a+1}{3}=\dbinom{a+2}{3}$

La ecuación queda así:

$\dbinom{a+2}{3}+\dbinom{a+2}{4}=\dbinom{a+3}{10}$

Aplicamos la fórmula por tercera vez y obtenemos:

$\dbinom{a+3}{4}=\dbinom{a+3}{10}$

Estos números combinatorios han de ser a la fuerza complementarios por lo que:

$a+3-10=4$ y entonces a=11

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Ecuaciones con números combinatorios 2

Posted by wgs84 en domingo, 18 marzo, 2007

Ecuaciones del tipo : $\dbinom{m}{a}=\dbinom{m}{b}$

Estos dos números combinatorios o son idénticos o són complementarios:

Si son idénticos: a=b
Si son complementarios: a=m-b m=a+b

Ejemplo: $\dbinom{10+p}{p+4}=\dbinom{10+p}{2p-10}$

Consideramos que son iguales:

$p+4=2p-10$ y p=14 por lo que tenemos

$\dbinom{24}{14}=\dbinom{24}{18}$ y la solución es válida
Consideramos que son complementarios:

$p+4+2p-10=10+p$ y p=8 por lo que tenemos

$\dbinom{18}{12}=\dbinom{18}{6}$ y la solución también es válida