Problemas de progresiones aritméticas I
Posted by wgs84 en viernes, 9 May, 2008
1) El problema de los tres términos
Calcula tres términos de una P.A tales que su suma sea 27 y su producto 693
El truco consiste en decir que el término central es «a» y la diferencia «d». De este modo la sucesión queda así: a-d, a, a+d
Teniendo en cuenta la primera condición; .Por lo que .
La segunda condicón da lugar a la ecuación:
Sustituyendo queda:
La números buscados son : ó
2)Los términos tercero y séptimo de una P.A suman 46 y la suma del segundo y el cuarto es 26. Calcula dischos términos
El enunciado da lugar al sistema:
.
Utilizaremos la fómula del término general () para reducir las incógnitas a dos:
.
.
Restando las dos ecuaciones queda
Sustituyo en la segunda ecuación del sistema: y obtenmos
El término general será :
; ; ; y
3) Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus medidas, expresadas en metros, están en progresión aritmética de diferencia 3.
Los lados en P.A tendrán la forma . Como son los lados de un trinángulo rectángulo cumplirán el teorema de Pitágoras:
.
LKasa soluciones de esta ecuación son y . Como se trata de los lados de un triángulo (longitud siempre positiva) nos quedamos con y los lados del triangulo medirán .
4) Halla tres números que estén en progresión aritmética y tales que, aumentados en 5, 4 y 7 unidades respectivamente, sean proporcionales a 5, 6 y 9.
Los tres números en P.A serán . Si los aumentamos en 5, 4 y 7 respectivamente quedan así: .
Si establecemos la proporcionalidad respecto a 5, 6 y 9 nos obtenemos una serie de tres razones de las sacaremos 2 proporciones para montar un sistema y calcular «a» y «d».
.
Multiplicamos en cruz la 1ª y la 2ª y la 2ª con la tercera:
.
Transponiendo y agrupando términos:
.
Simplificando la segunda ecuación
.
Si restamos las ecuaciones (reducción) nos queda que
Sustituimos en la 2ª ecuación
Así pues los números buscados son:
5) Interpolación de medios aritméticos o diferenciales
Interpola 4 medios aritméticos o diferenciales en tre los números 8 y 18
Interpolar 4 medios diferenciales entre 8 y 18 es formar la siguiente P.A:
Donde son los cuatro números a interpolar, y .
Usando la expresión del término general de una P.A tenemos que . De donde . Y ya podemos formar la P.A: .
6) Halla cuatro números en progresión aritmética, conociendo su suma, que es 22, y la suma de sus cuadrados, 166.
Para facilitar la resolucion del sistema utilizamos el mismo truco que en el problema 1. Los números en cuestión serán:
El sistema de ecuaciones no lineal nos queda:
.
Agrupando en la primera ecuación
. Sustituimos en la ecuación no lineal:
Desarrollando y agrupando: .
Simplificando . Cuyas soluciones son: y .
Si entonces y la P.A
Si entonces y la P.A como debía de ser
Ricardo said
Excelente material de ejercicios resueltos de progresiones aritméticas, sirve para estudiantes de secundaria que estén cursando grado noveno de bachillerato por ejemplo en Colombia. Realmente tiene una buena explicación sobre problemas verbales de progresiones aritméticas, donde explican la manera de resolver con diferentes temas relacionados con el algebra elemental.
Matesfacil said
Ejercicios resueltos de progresiones