Problemas de progresiones aritméticas I

1) El problema de los tres términos

Calcula tres términos de una P.A tales que su suma sea 27 y su producto 693

El truco consiste en decir que el término central es “a” y la diferencia “d”. De este modo la sucesión queda así: a-d, a, a+d
Teniendo en cuenta la primera condición; .Por lo que .
La segunda condicón da lugar a la ecuación:
Sustituyendo queda:




La números buscados son : ó

2)Los términos tercero y séptimo de una P.A suman 46 y la suma del segundo y el cuarto es 26. Calcula dischos términos

El enunciado da lugar al sistema:
.
Utilizaremos la fómula del término general () para reducir las incógnitas a dos:
.
.

Restando las dos ecuaciones queda
Sustituyo en la segunda ecuación del sistema: y obtenmos

El término general será :
; ; ; y

3) Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus medidas, expresadas en metros, están en progresión aritmética de diferencia 3.

Los lados en P.A tendrán la forma . Como son los lados de un trinángulo rectángulo cumplirán el teorema de Pitágoras:

.
LKasa soluciones de esta ecuación son y . Como se trata de los lados de un triángulo (longitud siempre positiva) nos quedamos con y los lados del triangulo medirán .

4) Halla tres números que estén en progresión aritmética y tales que, aumentados en 5, 4 y 7 unidades respectivamente, sean proporcionales a 5, 6 y 9.

Los tres números en P.A serán . Si los aumentamos en 5, 4 y 7 respectivamente quedan así: .
Si establecemos la proporcionalidad respecto a 5, 6 y 9 nos obtenemos una serie de tres razones de las sacaremos 2 proporciones para montar un sistema y calcular “a” y “d”.
.

Multiplicamos en cruz la 1ª y la 2ª y la 2ª con la tercera:
.
Transponiendo y agrupando términos:
.
Simplificando la segunda ecuación
.

Si restamos las ecuaciones (reducción) nos queda que
Sustituimos en la 2ª ecuación
Así pues los números buscados son:

5) Interpolación de medios aritméticos o diferenciales

Interpola 4 medios aritméticos o diferenciales en tre los números 8 y 18

Interpolar 4 medios diferenciales entre 8 y 18 es formar la siguiente P.A:
Donde son los cuatro números a interpolar, y .

Usando la expresión del término general de una P.A tenemos que . De donde . Y ya podemos formar la P.A: .

6) Halla cuatro números en progresión aritmética, conociendo su suma, que es 22, y la suma de sus cuadrados, 166.

Para facilitar la resolucion del sistema utilizamos el mismo truco que en el problema 1. Los números en cuestión serán:

El sistema de ecuaciones no lineal nos queda:

.

Agrupando en la primera ecuación

. Sustituimos en la ecuación no lineal:

Desarrollando y agrupando: .

Simplificando . Cuyas soluciones son: y .

Si entonces y la P.A

Si entonces y la P.A como debía de ser